Question

复合函数求导公式的推导

(dy/du)*(du/dx)请问可以直接约分得到dy/dx吗？
证明：(dy/du)*(du/dx)把du约掉后等于dy/dx
所以y对x的导数等于y对u的导数乘以u对x的导数。
请问这样证明对吗？

Answer 1

复合函数的求导公式

Answer 2

我们老师说不对。
正确（正式）的证明如下：
假设我们要求f(g(x))对x的导数，且f(g(x))和g(x)均可导。
首先，根据定义：当h->0时，g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h，所以，当h->0时，lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)->0
设v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)
就有：g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h
同理：f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k
所以，f(g(x)+[g'(x) + v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v]*[g'(x)+v]h （其实就是y=g(x),k=[g'(x) + v]h）
所以，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h−f(g(x)))/h
=[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]
当h->0时，u和v都->0，这个容易看。
所以当h->0时，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f'(g(x))+0]·[g'(x)+0]
=f'(g(x))·g'(x)
然后f'(g(x))=f'(g(x))·g'(x)
证毕
写得比较乱，主要是比较复杂，你还是写到纸上看看吧。
你说的约分可以用来帮助记忆，但不能用来当作证明。

Answer 3

我们老师说不对。
正确（正式）的证明如下：
假设我们要求f(g(x))对x的导数，且f(g(x))和g(x)均可导。
首先，根据定义：当h->0时，g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h，所以，当h->0时，lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)->0
设v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)
就有：g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h
同理：f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k
所以，f(g(x)+[g'(x)
+
v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v]*[g'(x)+v]h
（其实就是y=g(x),k=[g'(x)
+
v]h）
所以，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h−f(g(x)))/h
=[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]
当h->0时，u和v都->0，这个容易看。
所以当h->0时，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f'(g(x))+0]·[g'(x)+0]
=f'(g(x))·g'(x)
然后f'(g(x))=f'(g(x))·g'(x)
证毕
...展开我们老师说不对。
正确（正式）的证明如下：
假设我们要求f(g(x))对x的导数，且f(g(x))和g(x)均可导。
首先，根据定义：当h->0时，g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h，所以，当h->0时，lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)->0
设v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)
就有：g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h
同理：f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k
所以，f(g(x)+[g'(x)
+
v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v]*[g'(x)+v]h
（其实就是y=g(x),k=[g'(x)
+
v]h）
所以，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h−f(g(x)))/h
=[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]
当h->0时，u和v都->0，这个容易看。
所以当h->0时，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f'(g(x))+0]·[g'(x)+0]
=f'(g(x))·g'(x)
然后f'(g(x))=f'(g(x))·g'(x)
证毕
写得比较乱，主要是比较复杂，你还是写到纸上看看吧。
你说的约分可以用来帮助记忆，但不能用来当作证明。收起

Answer 4

你的证明是错误的，有两个地方；

1. u+du=g(x+dx)，？？，由u=g(x)能推出吗？，你好像是为了凑出结论而编出的，这只是形式上的问题，尚不太严重，严重的是下面这个，这涉及到基本概念。

2.  ( f(g(x+dx)) - f(g(x) ) /dx  = f'(x) ？？，就算左边有这样一个式子，它等于右边吗？这个写法是将y直接看成了x的函数。按设定，y=f(u),u=g(x)，y是u的函数【不论有没有u=g(x)】，我们能看到的是y随u的变化，我们针对y的任何运算【包括求导】只能针对u，只是因为u=g(x)，我们才认为y实质上是随x变化的，尽管实质上是这样的，但我们无法对y的运算直接针对x，只能通过中介u而达到。

3. 讲到复合函数求导，那通常的非复合函数的求导就先确定了才行。导数是因为微分的存在而存在【导数是两个微分的比值】。dy=f‘(u)du,du=g'(x)dx,所以，dy=f‘(u)×g'(x)dx，dy/dx=f‘(u)×g'(x)【通过这个链式法则，通过中介，我们间接的找到了实质上y与x的关系】。【注意：dy=f‘(u)du,du=g'(x)dx,这两个式子不论前面的u与后面的u有没有关系，都成立，一定要独立的看。如有关系，是一个u，则链式法则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)成立，否则dy/dx就没有意义。】

4. 你的推导方式：用取极限的方法用在复合求导上太繁琐【不是说不行】，因复合求导是基本概念求导上的二级概念，用基本概念推二级概念易懂，取极限的方法与二级概念隔了一层就繁琐。

   第一部分也许说的不对，你主要看一些思路吧，仅供参考。

Answer 5

是这个意思 不过不是约掉的 它意味着是符合导数 跟你说的是反过来的