Question

1/(1-x^n)的无穷级数如何求解？

通项为1/(1-x^n)的无穷级数的求和（n从1到无穷）如何求解？

Answer 1

对于1/(1-x^n)的无穷级数，我们可以利用以下方法求解：
首先，我们可以通过对比与已知级数的关系，将其转换为一个已知级数，例如：
当 |x| < 1 时，我们可以使用以下等式：
1 / (1 - x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ...
将上述等式中的 x 替换为 x^n，得到：
1 / (1 - x^n) = 1 + x^n + x^2n + x^3n + ...
即为所求的级数。
对于通项为1/(1-x^n)的无穷级数的求和（n从1到无穷），我们可以使用以下方法求解：
首先，将通项展开，得到：
1/(1-x^n) = 1 + x^n + x^2n + x^3n + ...
然后，将上述级数中的每一项分别相加，得：
S = 1 + x^1 + x^2 + x^3 + ... + x^1n-1 + x^2n-2 + ... + x^(m-1)n-(n-1) + ...
其中，m表示最后一项的指数+1
接下来，我们对级数进行变形，得到：
x^nS = x^n + x^(n+1) + ... + x^(2n-1) + ... + x^mn-(n+1) + ...
S - x^nS = 1 + x^1 + x^2 + ... + x^(m-1) - x^n - x^(n+1) - ... - x^(mn-(n+1))
将公式左右两边合并同类项，得：
S = (1 - x^n) / (1 - x^n)
即可得到通项为1/(1-x^n)的无穷级数的求和公式。

Answer 2

要求解无穷级数 1/(1-x^n)，我们可以使用幂级数展开的方法，将它表示为 x 的幂级数的形式。
首先，我们知道：
1 / (1 - x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... (当 |x| < 1)
这是一个常见的幂级数展开式，可以通过对等比数列求和得到。接下来，我们需要将 1 / (1 - x^n) 转换成这种形式。
让我们令 y = x^n，那么：
1 / (1 - x^n) = 1 / (1 - y)
现在我们可以将它表示为 y 的幂级数形式：
1 / (1 - y) = 1 + y + y^2 + y^3 + ...
将 y 替换回 x^n，我们得到：
1 / (1 - x^n) = 1 + x^n + (x^n)^2 + (x^n)^3 + ...
这就是 1/(1-x^n) 的幂级数展开式。请注意，这个级数在 |x| < 1/n 的时候是绝对收敛的。也就是说，当 |x| < 1/n 时，这个级数的部分和有一个极限值。
如果需要计算级数的部分和，我们可以使用该级数的截断形式。例如，如果要计算前 k 项的部分和，可以使用以下公式：
S(k) = 1 + x^n + (x^n)^2 + ... + (x^n)^(k-1) = (1 - (x^n)^k) / (1 - x^n)
因此，我们可以使用这些公式来计算 1/(1-x^n) 的无穷级数和截断级数的部分和。

追问

这个S(k)怎么感觉是对1 / (1 - x^n) 这一项的计算，而不是Σ1 / (1 - x^n) 【n从1到无穷】

Answer 3

1/(1-x^n) 的无穷级数求解需要将其化简为一个可求和的形式。首先，我们可以通过一些放缩和代换来化简这个级数。
1/(1-x^n) = 1/(1-x) * (1-x^(-1)) = 1/(1-x) * (1-x^0)
现在我们可以将 x^(-1) = 1/x 代入这个等式，化简得到：
1/(1-x) = 1/(1-x) * 1/x
接下来，我们可以利用 x = 1 来简化等式：
1/(1-1) = 1 * (1/1)
1/(1-1) = 1
所以，1/(1-x^n) 的无穷级数为 1。这个结果意味着当 n 趋向于无穷大时，1/(1-x^n) 趋近于 1。
请注意，这个级数求解方法并没有给出关于 x 的确切值，只是得到了一个极限为 1 的级数表达式。在实际应用中，您可能需要根据需要对 x 的取值进行限制。

Answer 4

对于给定的$x\in(-1,1)$和$n\in\mathbb{N}$，我们考虑求解无穷级数
$$
\sum_{k=0}^{\infty} x^{kn}.
$$
根据等比数列的求和公式，上式可以写成
$$
\sum_{k=0}^{\infty} x^{kn} = \frac{1}{1-x^n}.
$$
接下来，我们将函数$f(x)=\frac{1}{1-x^n}$在$x=0$处展开成幂级数，即
$$
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k,
$$
其中系数$a_k=(f^{(k)}(0))/k!$。注意到$f(x)$在$x=0$处有$n$阶导数，因此当$k

追问

可以用图片么，百度的公式显示不出来，也不完整

Answer 5

这是一个几何级数，可以通过以下方式求解：
首先，将无穷级数的通项公式表示出来：
a_n = （1-x^n） * a_{n-1}
其中，a_0 = 1。
接下来，将通项公式代入到级数的求和式中，得到：
S = a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_n + ...
将通项公式代入到式子中，得到：
S = 1 + （1-x） + （1-x^2） + ... + （1-x^n） + ...
将每一项进行变形，得到：
S = 1 + （1-x） + （1-x^2） + ... + （1-x^n） + ...
S * x = 0 + x + （1-x^2） + ... + （1-x^n） + ...
将两式相减，得到：
S * （1-x） = 1 + x - x^2 + x^2 - x^3 + ... + x^n - x^（n+1） + ...
化简，得到：
S = 1/（1-x）
因此，1/（1-x^n）的无穷级数的和为1/（1-x）。

追问

通项公式有问题哈，a_n和a_(n-1)的比值应该是[1-x^(n-1)]/[1-x^n]