Question

已知命题“存在x∈R,使a+x²-x+2≤0”是假命题,则时数a的取值范围是？

a≠0时x的最大值是多少

Answer 1

我们要分析命题 "存在x∈R，使 a + x² - x + 2 ≤ 0" 是假命题的情况下，求数 a 的取值范围。

首先，我们要确定当 a + x² - x + 2 ≤ 0 为假命题时，即对于任何实数 x，都不存在满足该不等式的解。也就是说，当 a + x² - x + 2 > 0 时，该命题为假。

考虑函数 f(x) = x² - x + 2，它是一个二次函数，对于任何实数 x，其值都不会小于 2（因为二次函数的最小值在开口向上的情况下出现）。所以我们要求 a + x² - x + 2 > 0，即 a + 2 > 0。

解得 a > -2。

因此，当 a > -2 时，命题 "存在x∈R，使 a + x² - x + 2 ≤ 0" 是假命题。

接下来，我们求 a ≠ 0 时，函数 y = a + x² - x + 2 的最大值。

考虑二次函数 y = x² - x + 2，它的最大值出现在抛物线的顶点处。顶点横坐标为 x = -b / (2a)，其中 a = 1，b = -1。

所以 x = -(-1) / (2 × 1) = 1/2。

将 x = 1/2 带入函数 y = x² - x + 2，得到最大值：

y = (1/2)² - 1/2 + 2 = 1/4 - 1/2 + 2 = 2 - 1/4 = 7/4。

所以当 a ≠ 0 时，x 的最大值是 7/4。

综上所述：

• 数 a 的取值范围是 a > -2。

• 当 a ≠ 0 时，x 的最大值是 7/4。