Question

等比数列a₄=4,a₂a₇=12+a₅等于多少？

Answer 1

首先，我们需要找到等比数列的公比。给定 a₄ = 4，我们可以使用公式 aₙ = a₁ * r^(n-1)，其中 a₁ 是首项，r 是公比，n 是项数。
由 a₄ = 4，代入 n = 4 和 a₁ = a，我们有：
4 = a * r^(4-1)
4 = a * r^3
接下来，我们利用等比数列的性质 a₂ * a₇ = a₅ * 12，来求解公比。代入 n = 2、5、7 和 a₁ = a，我们有：
a₂ * a₇ = a₅ * 12
(a * r) * (a * r^6) = (a * r^4) * 12
a² * r⁷ = a⁵ * 12 * r⁴
由于我们已经得到 a * r^3 = 4，我们可以进行代入：
(a * r)^2 * r⁵ = (a * r^3) * 12 * r⁴
(4)^2 * r⁵ = 4 * 12 * r⁴
16 * r⁵ = 48 * r⁴
然后，我们可以简化方程：
r⁵ = 3 * r⁴
r = 3
现在，我们找到了等比数列的公比 r = 3。接下来，我们可以使用 a₄ = 4 和公比 r = 3 来找到首项 a₁：
4 = a * 3^(4-1)
4 = a * 3^3
4 = 27a
a = 4/27
现在，我们可以计算 a₂ = a * r 和 a₅ = a * r⁴：
a₂ = (4/27) * 3 = 4/9
a₅ = (4/27) * 3^4 = 36/27 = 4/3
最后，我们可以计算等式 a₂ * a₇ = a₅ * 12 + a₅ 的值：
(a₂ * a₇) = (4/9) * (a * r^6) = (4/9) * (4/27 * 3^6) = 64/27
(a₅ * 12) + a₅ = (4/3 * 12) + (4/3) = 48/3 + 4/3 = 52/3
所以，等式 a₂ * a₇ = a₅ * 12 + a₅ 的结果为 64/27 = 52/3。