Question

高分请教一道关于极限的问题！满意者再追加50分！

初始值为100~~~
每抛一次硬币~正面的话使这个值+2~~反面的话使这个值-2~~~
这个值的上限是100~下限是0~~~即当它等于100的时候，抛到正面也不会+2~~当它等于0时~~抛到反面也不会-2~~~

问：进行无穷多次抛硬币之后~~这个值的期望取值是多少？
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不要直接摆出一个数字来...告诉我你的思路...
并且希望语言尽可能精确~比如这个值是趋近于（50+0）还是趋近于50~~这样的差别最好也阐明...

没有足够专业知识的人慎答...
我的看法也是从宏观上去考虑的...我觉得 XYZZYX12345678有点偏执于在100处不能上升这个地方~却忽略了~在0处不能下降...首先这个区间是对称的~在0和在100处是受到方向相反但实际效果相同的限制的~~然后事件也是具有对称性的....我也同意无穷多次是可以抹平起点的不平衡的~~~所以我的结论是~50~~无论起点是多少答案都是50~~
或者另一个角度~~即通过有限次的实验~那个值必定“有可能”停留在各个不同的值上~~从这个时点开始~我们再进行无穷次实验~~那么这些实验的预期结果应该是一致的~~因此我觉得抹平是一定的~但答案是100比较没有说服力~~

另外一位学者的观点是~98~~因为从100下降到98是必然的~~而在98开始~往上往下是不确定的~~因此答案是98~~对于这个观点我不敢苟同~~但是也未能指出其错漏之处~~~

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或者可以用数学归纳法证明那个数字不是100
第一次...1/2机会100~1/2机会98~~~期望值99
第二次...1/4机会96~1/4机会98~~1/2机会100~~~期望值98.5
第三次...1/8机会94~1/8机会96~3/8机会98~3/8机会100~~期望值98~
看到吧？次数越多~那个期望值就不断地往下..直到某个0-100的数之后就会停止..应该不会有回升的~请问这个如何解释？

多几个人来答啊！！！

Answer 1

楼主的判断是正确的，期望值会随着抛币次数的增加而下降，最终期望值很可能是50，但要想严格证明是50需要很大的计算量。

下面给出我的思路：
抛币n次后，分值将会有2^n种可能的结果，其中有些结果是相同的。
设结果为分值m的个数为s(m,n)，则结果为m的概率便是s(m,n)/2^n.

期望值便为E(n)=∑ms(m,n)/2^n；求和对m的所有可能值进行。

因此，问题现在转变为求s(m,n)。
问题的初始条件为：
s(100,0)=1，s(0≤m≤98,0)=0

s(m,n)的递推关系为：
s(100,n+1)=s(100,n)+s(99,n)
s(0,n+1)=s(0,n)+s(1,n)
s(2≤m≤98,n+1)=s(m-2,n)+s(m+2,n)

因此，只要求出s(m,n)与s(m,0)的关系，问题就能解决了。实际上这个关系是能求出的，但需要用到线性代数的知识：

设x(n)是所有不同m值的s(m,n)所组成的列矢量，由递推关系可求出矩阵M使得：
x(n)=Mx(n-1)
于是x(n)=[M^n]x(0)

要求出M^n的话需要将M对角化，以及求出对角化用到的相似变换矩阵Q。这些矩阵原则上是能求出的，但由于M是一个51×51的矩阵，所以计算量是相当大的。

我算过初始值为2，最大值为2，最小值为0，硬币正面＋1，反面－1的情况，结果是：
s(1,n)={2^(n+1)-2*(-1)^n}/6
s(2,n)={2^(n+1)+3+(-1)^n}/6
E(n)=1+2^(-n)
E(∞)=1，为初始值的一半。

所以初始值为100的话，最终期望值很可能为50，但要想严格算出来的话，需要进行51×51的矩阵运算，这不是一般计算机所能处理的，更不用考虑能用人手算出来了。

Answer 2

当n→∞时，lim [100+n*(2*1/2-2*1/2)]=100

你的主要问题出在这里：你设想了开始连续出现多次正面却始终不能加分，然后又连续出现多次反面却要连续减分。是这个意思吧。
这样一来，似乎分值会逐渐下降，但你从宏观上来考虑，两种几率相等，连续减分之后，又可能出现连续加分，从而又返回原来的位置100，尤其是n→∞，将这种可能性[正反面的概率各占1/2]大大提高了，也就是大数定律所要说明的结果。因为当n→∞时，起点的不平衡将被抹平。不知这样说能否满意。

Answer 3

怎么转不过弯呢？

1楼“抹平”的意思你理解错了，它是指“开始数次连续减分所造成的明显偏离100的局面将被巨大的试验次数逐渐抹平而回复原位100”。

我给你举一个形象的例子，掷硬币试验[每次加/减分值幅度相等]就好比阻力特小的阻尼振动，经过无限次振动后，振子会趋近于平衡位置，用坐标系表示的话就是y=0[这个相当于掷硬币的最终数值——数学期望是0]。现在，你将坐标平移后，使振动的平衡位置处于y=100处，那么，振子最终的落点也必然在y=100这条线上，你给的初值相当于坐标平移，就这么简单。

如果严格按照出现正反面各1/2的概率来设想，有以下两种情形：
1、第一次出现正面，100+0=100，第二次出现反面，100-2=98，第三次又是正面，98+2=100，第四次又是反面，100-2=98，......等等，如此循环下去，结果数值不是100就是98，关键看你停在奇数还是偶数投掷次数上。
2、与第一种情况相反，第一次出现反面，100-2=98，第二次出现正面，98+2=100，第三次又是反面，100-2=98，第四次又是正面，98+2=100，......等等，如此循环下去，结果数值还是那样，不是100便是98，如此而已。
当然，实际掷硬币试验不可能这么准确无误地正反面按1：1出现，总会有偏差的，但概率讲的就是这种理论上的可能性大小问题，如果要否认这种固有的可能性的话，那只有推翻概率论的理论大厦了。
这样说能明白了吗？

回答者： XYZZYX12345678 - 探花 十级

Answer 4

楼主，你好！
你的问题我以前在书上做过，
书上给的答案，与4楼的答案差不多，不过4楼的答案太不清楚了！
书上的主要步骤：
严格按照出现正反面各50%的概率来想这道题，有以下两种情况：
1、第一次出现正面，100+0=100，第二次出现反面，100-2=98，第三次又是正面，98+2=100，第四次又是反面，100-2=98，......等等，如此循环下去，结果数值不是100就是98，关键看你停在奇数还是偶数投掷次数上。
这种方法相对来说比较好！

2、与第一种情况相反，第一次出现反面，100-2=98，第二次出现正面，98+2=100，第三次又是反面，100-2=98，第四次又是正面，98+2=100，......等等，如此循环下去，结果数值还是那样，不是100便是98，如此而已。
当然，实际掷硬币试验不可能这么准确无误地正反面按1：1出现，总会有偏差的，但概率讲的就是这种理论上的可能性大小问题，如果要否认这种固有的可能性的话，那只有推翻概率论的理论大厦了。

明白了吗？

如果第二种方法想不透，那你就多用用第一种方法！

希望能够帮得到你！
谢谢

Answer 5

n→∞只是一种理想，实际上是不可能实现的，因为“无穷”就意味着永无休止，所以就不可能有最终结果，因此才会有“概率”这样的概念出现，也就是只要试验次数足够大，随即事件所固有的“可能性”就会得到充分体现，但并非绝对相等。概率，概率，大概的几率。
由此推理，在现实试验中，你的题目所能出现的可能数值也许会略低于100这个数。因为很有可能你最后终止时的那一次或几次是反面。但不管怎么说，只要试验次数足够大，这个数就会接近100。

应该是100，当n无限大的时候，翻到正反面的几率是一样的，都是0。5，所以，其和数的数学期望为西个码2*p(2)+(-2)*p(-2)，p(2)=p(-2)=0.5所以其和数的数学期望为0，那么这个树的数学期望为100的数学期望也就是100