Question

问两个高数和复变函数问题？

复数问题：
1：cos（z）展开成级数？
2：复变奇偶函数的图形有什么特征？它的反函数必须单射吗？（因为复数不能比大小，所以不说它单调。）有什么判别式吗？
3：如何用级数的方式证明e^x*e^iy=e^(x+iy)
高数问题：
1：间断点的偏导数存在吗？若存在它的图能画吗？有意义吗？
2为何△Z=A△X+B△Y+o(c);其中c=√△X^2+△Y^2;此时为了求Z对X的偏导数；为何可以将△Y等于零啊，为何一定就说△X与△Y一定要在全微分中△X与△Y无关；为何要这样规定？
高数补充：1:问是对于一个二元函数求偏导；2希望能给出更详细或更明白的证明;谢谢！
2:e^iy=1+iy+(iy)^2/2!+(iy)^3/3!......(1)
e^(-ix)=1+(-ix)+(-ix)^2/2!+(-ix)^3/3!......(2)
(1)*(2)=e^(iy)*e^(ix)=?这样展开如何化解,希望能更明白些!谢谢!
非常感谢大家的指点！但只能选一个最佳答案，只能从心里上谢谢你们！

Answer 1

1.cos(z)=(e^(iz)+e^(-iz))/2=1+(iz)^2/(2!)+(iz)^4/(4!)+....
=1-z^2/2!+z^4/4!+.....
2.复变函数没有图像。但它有幅度图像y=|f(z)|,和相位图像y=arg(f(z)).
复变函数的奇偶定义与实变函数定义是一样的，即满足f(z)=f(-z)为偶函数，满足f(z)=-f(-z)为奇函数。这两种函数的幅度函数为偶函数，相位函数为奇函数。
反函数存在的条件是f(z)为一一映射，即z1不等于z2与f(z1)不等于f(z2)相互等价时的函数f(z)。
3.等式两边用级数展开，展开后是无穷项相加的形式，其中每项的形式是一个系数乘以x^m(iy)^n，该项的次数(幂)为（m+n）,我们将次数为(m+n)的所有项合并。即将x^0(iy)^(n+m),x^1(iy)^(n+m-1),x^2(iy)^(n+m-2),...
...,x^(m+n-1)(iy)^1,x^(m+n)(iy)^0这些次数为（m+n）的项合并。
为此，得先算每一项的系数。对于x^m(iy)^n，它是由e^x级数展开中的
(1/m!)*x^m与e^(iy)级数展开中的(1/n!)*(iy)^m 这两项相乘得到的，
故x^m(iy)^n的系数为
(1/m!)*(1/n!)=(1/(m+n)!)C(m+n;m) (这里n,k的组合数记为C(n;k))
则等式左边的级数相乘展开中，次数为（m+n）的项加在一起等于
（1/(m+n)!)∑(k从0到r)C((m+n);k)*x^k(iy)^(m+n-k)=（1/(m+n)!)*(x+iy)!（牛顿二项式公式）
而等式右边级数展开中，次数为(m+n)的项为（1/(m+n)!)*(x+iy)!，
即左边合并次数相同的项后(多项合并后变为一项)，与等式右边相同次数的项相等，
故左边=右边。
高数问题
1.二元函数在间断点处不连续(对x,y变量而言都不连续)，当然不存在偏导数。
2△Z=A△X+B△Y+o(c)是全微分的定义式。
Z对X的偏导数表示X变化时Z的变化率，当然与Y无关，可将△Y等于零。
尽管X,Y可能相关(比如都是t的函数)，但微分代表关于某个量的变化速率，
既然要计算Z关于X，Y的变化速率，就应将X，Y的增量△X与△Y视为无关的，因为只关心△X对△Z的影响和△Y对△Z的影响。

Answer 2

检举复数问题：
1，利用欧拉公式，然后展开 cos(z)=(e^(iz)+e^(-iz))/2=1+(iz)^2/(2!)+(iz)^4/(4!)+....
=1-z^2/2!+z^4/4!+.....
2，复变函数没有图形阿，首先复变函数就没有必要单射阿，定义就是这样的阿

高数问题：
1：间断点的偏导数存在吗？
可能存在的，有可能两个偏导数都存在，但函数在该点间断，因为必须偏导数连续才该函数才连续
2 因为偏导数是Y不变时对X求导，当然△Y=0了
1.cos(z)=(e^(iz)+e^(-iz))/2=1+(iz)^2/(2!)+(iz)^4/(4!)+....
=1-z^2/2!+z^4/4!+.....
2.复变函数没有图像。但它有幅度图像y=|f(z)|,和相位图像y=arg(f(z)).
复变函数的奇偶定义与实变函数定义是一样的，即满足f(z)=f(-z)为偶函数，满足f(z)=-f(-z)为奇函数。这两种函数的幅度函数为偶函数，相位函数为奇函数。
反函数存在的条件是f(z)为一一映射，即z1不等于z2与f(z1)不等于f(z2)相互等价时的函数f(z)。
3.等式两边用级数展开，展开后是无穷项相加的形式，其中每项的形式是一个系数乘以x^m(iy)^n，该项的次数(幂)为（m+n）,我们将次数为(m+n)的所有项合并。即将x^0(iy)^(n+m),x^1(iy)^(n+m-1),x^2(iy)^(n+m-2),...
...,x^(m+n-1)(iy)^1,x^(m+n)(iy)^0这些次数为（m+n）的项合并。
为此，得先算每一项的系数。对于x^m(iy)^n，它是由e^x级数展开中的
(1/m!)*x^m与e^(iy)级数展开中的(1/n!)*(iy)^m 这两项相乘得到的，
故x^m(iy)^n的系数为
(1/m!)*(1/n!)=(1/(m+n)!)C(m+n;m) (这里n,k的组合数记为C(n;k))
则等式左边的级数相乘展开中，次数为（m+n）的项加在一起等于
（1/(m+n)!)∑(k从0到r)C((m+n);k)*x^k(iy)^(m+n-k)=（1/(m+n)!)*(x+iy)!（牛顿二项式公式）
而等式右边级数展开中，次数为(m+n)的项为（1/(m+n)!)*(x+iy)!，
即左边合并次数相同的项后(多项合并后变为一项)，与等式右边相同次数的项相等，
故左边=右边。
高数问题
1.二元函数在间断点处不连续(对x,y变量而言都不连续)，当然不存在偏导数。
2△Z=A△X+B△Y+o(c)是全微分的定义式。
Z对X的偏导数表示X变化时Z的变化率，当然与Y无关，可将△Y等于零。
尽管X,Y可能相关(比如都是t的函数)，但微分代表关于某个量的变化速率，
既然要计算Z关于X，Y的变化速率，就应将X，Y的增量△X与△Y视为无关的，因为只关心△X对△Z的影响和△Y对△Z的影响。

Answer 3

复数问题：
1，利用欧拉公式，然后展开 cos(z)=(e^(iz)+e^(-iz))/2=1+(iz)^2/(2!)+(iz)^4/(4!)+....
=1-z^2/2!+z^4/4!+.....
2，复变函数没有图形阿，首先复变函数就没有必要单射阿，定义就是这样的阿

高数问题：
1：间断点的偏导数存在吗？
可能存在的，有可能两个偏导数都存在，但函数在该点间断，因为必须偏导数连续才该函数才连续
2 因为偏导数是Y不变时对X求导，当然△Y=0了