Question

matlab矩阵 AX=B 求解问题

是这样的一个问题

已知这样的一组数据：

x=[807.885 822.301 843.889 873.601 882.456 866.085 839.726 816.664];
y=[1294.459 1265.64 1258.251 1270.253 1302.33 1326.2 1331.356 1321.231];
z=[-4.878 -4.244 -4.073 -4.267 -4.495 -5.15 -5.514 -5.378];

应用这样一个方程ax+by+cz=1

来求解a b c

于是

[x y z] * [a b c]' = 1

A=[x,y,z], X = [a b c]', and B=1;

于是方程变为AX=B

那么X怎么表示呢。。如何解啊。。。

有人告诉我是等于X = (A'*A)^(-1)*A'*B

对不对啊。。为什么是这个呢。。

用matlab来求解哦。。

谢谢各位了啊。。

Answer 1

1.首先，这里有8个方程，3个未知量，当然你可以用其中任意三个线性无关的方程求出a，b，c的一组值，但是这样我们就浪费了很多数据。

2.如果同时求解8个方程肯定无解，但是我们想要找到一个向量Y使得AY与B（B应该是一列向量）最为接近，而AY是A的列向量的一个线性组合，所以此问题转化为在A的列向量所生成的空间SA中寻找一向量Y使AY与B最为接近，至于如何度量接近程度一般使用欧氏范数||AY-B||。

3.根据最佳逼近定理显然B与其在SA中的正交分解（或垂直投影）pb的距离是B与SA中所有向量距离的最小者。此时Y便是AY=pb的解，由于pb是A的列向量的线性组合，所以此方程肯定有解。但每次求解时都计算b是一件很繁琐的事，所以我们要寻找一个更简便的方法。

4.由于pb是B在SA中的正交分解，所以（B-pb）⊥SA，所以（B-pb）垂直于A的每一个列向量a1,a2…an,其转置记为ta1,ta2,…tan,可知此时有ta1.(B-pb)=0,ta2.(B-pb)=0…(向量内积定义）,即(A的转置A')A'(B-pb)=0,即A'pb=A'B,而pb=AY
所以A'AY=A'B,此方程成为AX=B的正规方程，由此亦可求出最佳逼近Y。此时系数矩阵已是方阵且可逆，Y=A'A\A'B=inv(A'A)*(A'B)。

5.此问题有另外分析解法，即求使Q=∑（1-ax-by-cz)^2达最小的a,b,c的值，分别对a,b,c求偏导数并令其为零亦可得到正规方程（组）。

6.此问题是最小二乘问题或称数据拟合（方法属于Gauss)，至于最佳逼近和正交分解可参考有关线性代数或泛函分析的书籍。

希望对你有所帮助……

Answer 2

(a,b,c)*P=(1,1,1,1,1,1,1,1)
p=[807.885 822.301 843.889 873.601 882.456 866.085 839.726 816.664;1294.459 1265.64 1258.251 1270.253 1302.33 1326.2 1331.356 1321.231;-4.878 -4.244 -4.073 -4.267 -4.495 -5.15 -5.514 -5.378];
(a,b,c)=(1,1,1,1,1,1,1,1)/p
ans =

-0.0003 0.0012 0.0620
这是一个最小二乘法的近似解，因为是一个超定滴的方程 。

Answer 3

nan表示非数
inf表示无穷大
-inf表示负无穷大