Question

线性代数的几个问题有些混乱，希望大家能释疑，非常感谢！

（1）一个向量a=（m1,m2,……mk）,那么a是一个k维向量对吗？
（2）如果向量b=x1a1+x2a2+……+xnan,也就是b能由向量组表示，那b也必须是n维的对吗？
（3）在（1）和（2）中，n必须要大于等于k吗？？也就是说用来表示向量b的向量a的个数和向量的维数之间有什么关系吗？
（4）由向量组生成的向量空间的维数是向量组的秩，那也就是说向量空间的维数和生成该空间的向量的维数是两回事，他们可能不同，对吗？？那么这和高中时候讲的三维空间的向量表示不矛盾吗？？
（5）矩阵方程AX=B，如果（A,B）的行最简形是（E,X），那么X就是解，但这必须是A是方阵且可逆，如果行最简形化不成（E,X）而是最后有几行全为零，该怎么解？？如果A根本就不是方阵呢，又该怎么解呢？？
希望大家帮我解释一下，非常感谢！！O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

1、正确
2、正确，不同维数的向量，如何相等呢？
3、不需要，事实上我们经常考虑的是n≤k，因为n＞k时，此方程一定有解（向量组中向量的个数大于向量的维数时，向量组一定线性相关，书上的结论），所以在考虑向量由向量组线性表示或者向量组的线性相关性时，一般都是n≤k
4、向量空间的维数与生成该空间的向量组的秩是一回事
5、此时AX＝B无解或者有无穷多解，把X的元素看作未知量不就还是线性方程组，所以把（A,B）化为行阶梯形，选定自由未知量进行表示

Answer 2

（1）一个向量a=（m1,m2,……mk）,那么a是一个k维向量对吗？------对！

（2）如果向量b=x1a1+x2a2+……+xnan,也就是b能由向量组表示，那b也必须是n维的对吗？
-----b是一维的，是标量。

（3）在（1）和（2）中，n必须要大于等于k吗？？也就是说用来表示向量b的向量a的个数和向量的维数之间有什么关系吗？------理解了（2）之后，重提这个问题。

（4）由向量组生成的向量空间的维数是向量组的秩，那也就是说向量空间的维数和生成该空间的向量的维数是两回事，他们可能不同，对吗？？那么这和高中时候讲的三维空间的向量表示不矛盾吗？？
-------秩， 小于或等于空间的纬度。秩，其实就是子空间的纬度。

（5）矩阵方程AX=B，如果（A,B）的行最简形是（E,X），那么X就是解，但这必须是A是方阵且可逆，如果行最简形化不成（E,X）而是最后有几行全为零，该怎么解？？如果A根本就不是方阵呢，又该怎么解呢？？
-----没有唯一解。就像二元一次方程组，当两个方程是一回事时，方程组没有唯一解。