Question

函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足f(xy)=f(x)+f(y)

函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足f(xy)=f(x)+f(y),则不等式f(x+6)+f(x)<2f(4)的解集为？
请告诉我答案及解题过程！！！谢谢！！！

Answer 1

解：
化为
f[x(x+6)]<f(16)
由已知得
x(x+6)>0
16>0
x(x+6)<16
解得x∈(-8,-6)∪(0,2)
分析：
这是一道抽象函数 所以我说的详细一些
根据f(xy)=f(x)+f(y)
可得f(x+6)+f(x)=f[x(x+6)]
2f(4)=f(4)+f(4)=f(16)
通俗的说就是合并起来
x(x+6)>0
16>0
是为了满足x和y的定义域 题目中给出了
又因为f(x)在(0,+00)上单调递增
所以有x(x+6)<16

Answer 2

依题意得f(x(x＋6))＜f(16)
且函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数
所以0＜x,0＜x＋6,x(x+6)＜16.
解得0＜x＜2.

分析：
因为f(xy)＝f(x)＋f(y)
可得f(x＋6)＋f(x)＝f(x(x＋6))
2f(4)＝f(4)＋f(4)＝f(16)

Answer 3

因为f(xy)=f(x)+f(y),则f(x+6)+f(x)=f[(x+6)*x],2f(4)=f(4)+f(4)=f(16)
又函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数 (x+6)*x>0 推出 x>o或x<-6
则要满足则不等式f(x+6)+f(x)<2f(4) 即(x+6)*x<16 推出(x+8)*(x-2)<0
解集为 (-8,-6) U (0,2)

Answer 4

由已知得
f[x(x+6)]<f(16)
且x(x+6)>0
符合定义域
所以
根据增函数得x(x+6)<16
解得x∈(-8,-6)∪(0,2)