Question

已知f(x)=x/(x-a),x不等于a,若a>o,且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围

已知f(x)=x/(x-a),x不等于a,若a>o,且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围

Answer 1

根据单调递减的定义来求解
设 x2>x1>1
f(x2)-f(x1)=x2/(x2-a)-x1/(x1-a)=(x1x2-ax2-x1x2+ax1)/(x1-a)(x2-a)= a(x1-x2)/(x1-a)(x2-a)
由于 x2>x1，a>0 所以 a（x1-x2)<0
要满足条件，必须
(x1-a)(x2-a)>0 x1 x2都恒大于a, 或者都恒小于a
它们的取值区间是(1,+∞),不存在最大值，也就不存在这样一个a
这样只能它们恒大于a ，由于x2>x1>1 又 x1>a要恒成立 所以a<=1
这样 a的范围就是 (0,1]

Answer 2

取1<x1<x2
因为f(x)在(1,+∞)内单调递减，f(x1)>f(x2)所以f(x1)-f(x2)>0
f(x1)-f(x2)=x1/(x1-a)-x1/(x1-a)=a(x2-x1)/[(x1-a)(x2-a)]>0
x1<x2 x2-x1>0
所以a/[(x1-a)(x2-a)]>0
第一种情况1<x1<x2<a
x1-a<0 x2-a<0 (x1-a)(x2-a)>0
所以a>0
又因为1<x1<x2<a
所以a∈(1,∞)

第二种情况1<x1<a<x2
x1-a<0 x2-a>0 (x1-a)(x2-a)<0
所以a<0
又因为1<x1<a<x2
所以a∈空集

第三种情况1<a<x1<x2
x1-a>0 x2-a>0 (x1-a)(x2-a)>0
所以a>0
又因为1<a<x1<x2
所以a∈(1,∞)

综上所述，可得a∈(1,∞)