Question

设a、b为非零向量，且|b|=1，（a，b）夹角=60°，求lim(|a+xb|-|a|)/x （x趋向于0）

答案是：1/2，请给出详细过程

Answer 1

|a+xb| = √(|a|² + x²|b|² - 2x|a||b|cos120°) = √(|a|² + x²|b|² + x|a||b|)

所以，(|a+xb| - |a|)/x = (√(|a|² + x²|b|² + x|a||b|) - |a|)/x，分子有理化得 ～ = (x|b|² + |a||b|)/(√(|a|² + x²|b|² + x|a||b|) + |a|)

当x→0时，分子→|a||b|，分母→2|a|，整个分式→|b|/2 = 1/2.

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这里要注意的就是a、b夹角60°时，把b的起点平移到a的终点做向量加法，张开的角度实际上是60°的补角120°，然后再用余弦定理算|a+xb|的长。我一开始疏忽了，跟你的答案差了个符号。