Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若向量m=（2，0）与n=（sinB,1-cosB)的夹角为π/3，求角B的大

若b=根号3，求a+c的最大值？

Answer 1

（1）
m·n=（2，0）·（sinB,1-cosB)=2sinB

又|m|=2，|n|=根号((sinB)^2+(1-cosB)^2)=根号(2-2cosB)
故m·n=|m||n|cos<m,n>
=2·根号(1-2cosB)·cos(60度)
=根号(1-2cosB)

所以2sinB=根号(1-2cosB)
两边平方：4(sinB)^2=1-2cosB
即4-4(cosB)^2=1-2cosB
解得cosB=(1+根号13)/4或cosB=(1-根号13)/4
因为0<B<π
所以cosB=(1-根号13)/4，B=arccos（(1-根号13)/4）

（2）
正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以
a+c
=b/sinB·(sinA+sinC)
=2b/sinB·sin((A+C)/2)·cos((A-C)/2)
=2b/sinB·cos(B/2)·cos((A-C)/2)………………因为(A+C)/2)+B/2=π/2
<=2b/sinB·cos(B/2)………………当且仅当A=C时等号成立
=根号3·根号(2+2根号13)/4·根号(10-2根号13)/4
=根号(3根号13-2根号3)/4

Answer 2

（1）向量m*n=|m|*|n|cosθ
所以2sinB=根号下2（1-cosB）
解得B=0（舍）或B=2π/3
(2)用余弦定理b^2=(a+c)^2-2ac(1+cosB)
所以9=(a+c)^2-ac
因为ac<=[(a+c)/2]^2
所以上式化为9>=(3/4)(a+c)^2
所以a+c最大值为2倍的根号3.

Answer 3

B为120度
最大值是2
过程：cos60=m.n/mn的模 得到B 再用余弦定理