Question

估计一个指数函数的参数

有一个信号（其实是核反应堆的功率），理论上讲要么维持不变，要么以指数形式上升或下降，P(t)=P0*exp(at)。而观测得到的数据是这个理论数据加上一个高斯白噪声，噪声的方差差不多是知道的，一般小于平均值的10%。现在需要做一个实时的系统，能够首先滤掉噪声，然后估计出a的值。因为是个实时的系统，所以要求首先估计值比较精确，其次反应时间比较短。我知道卡尔曼滤波器能够完成这个工作，不知道大家还有什么想法？谢谢了！

Answer 1

抛砖引玉一下.
Kalman滤波假设系统的噪声为高斯白噪声, 似乎很适合这个问题, 但是问题是kalman滤波还假设系统为线性, 在已知系统非线性的情况下(指数形式), 直接应用Kalman滤波不知效果如何.

一个想法: 鉴于系统为指数 (不变也只是a=0), 对于取得的信号P(t)首先求log, 那么得到的系统就是线性系统了 (系统方程是 log(P0)+a*t). 这种情况下, 噪声虽然还是白噪声, 但是却不是高斯分布了. 不知道应用Kalman滤波效果会如何. 实时系统的话又不能直接做minimum mean square estimate, 但是对于如此简单的线性系统且非高斯噪声的, 还是有很多on-line参数估计方法的. 比如Expectation Maximization, 具体可以上网搜索 parameter estimation for linear dynamical systems.

另外一个想法: 对于非线性系统且高斯白噪声, 可以应用extended Kalman filter, 而不是Kalman filter. 具体EKF的介绍参考
http://www.cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf