Question

已知△ABC的三边长为a,b,c，且满足方程a^2x^2-(c^2-a^2-b^2)x+b^2=0,则方程根的情况是

Answer 1

判断
δ
=(c^2-a^2-b^2)²-4a^2b^2
=(c²-a²-2ab-b²)(c²-a²+2b-b²)
=[c²-(a+b)²][c²-(a-b)²]
=(c-a-b)(c+a+b)(c-a+b)(c+a-b)
根据两边之和大于第三边，两边只差小于第三边可知
c-a-b＜0
c-a+b＞0
c+a-b＞0

又c+a+b＞0
∴判别式δ＜0
所以方程无实根

Answer 2

Δ=-(c^2-a^2-b^2)^2-4a^2*b^2
=c^4-2c^2(a^2+b^2)+(a^2-b^2)^2>c^4-2c^2(a^2+b^2)+c^2*(a-b)^2
=c^4-c^2(a-b)^2=c^2(c+a-b)(c-a+b)>0
∴Δ=-(c^2-a^2-b^2)^2-4a^2*b^2>0
∴方程有两个不同的根

本题主要运用到三角形边长的性质：两边之和大于第三边。