Question

有谁知道这个问题的详细解答过程和思路？？？谢谢！！！

中国剩余定理：我国古代数学名著《孙子算经》中，记在这样一个问题:“今有物

不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。”用现在

的话来说就是：“有一批物品，三个三个的数余两个，五个五个的数余三个，七

个七个的数余两个，问这批物品最少有几个。”这个问题的解题思路，被称为“

孙子问题”、“鬼估算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。
为了解决这个问题，明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀：
三人同行七十（70）稀，五树梅花廿一（21）枝，
七子团圆正月半（15），除百零五（105）便得知。
歌诀中每一句话都是一步解法，第一句指除以三的余数用七十去乘，第二句是指

除以五的余数用21去乘，第三句是指除以七的余数用15去乘，第四句是指上面乘

得的三个积相加的和如果超过105，就减去105的倍数，就得到答案了，即：70×

2+21×3+15×2-105×2=23.
【例题】
有一个年级的同学，每九个人一排多五个人，每七人一排多一个人，每五人一排

多两个人，这个年级至少有多少人？
题中9、7、5三个数两两互质。
则【7，5】=35，【9，5】=45，【9，7】=63，【9，7，5】=315.
为了使35倍9除余1，用35×8=280；
为了使45倍7除余1，用45×5=225；
为了使63倍5除余1，用63×2=126.
然后，280×5+225×1+126×2=1877，
所以，1877-315×5=302，就是所求的数。

Answer 1

写成数论记号：同余号≡以下简记为==
x==2 mod 3
==3 mod 5
==2 mod 7
这在数论中称为同余方程组，简称同余式组。

中国剩余定理就是求解同余式组的手段之一(注意，并不是唯一方法)。它的思想是这样的：
求出
x1==1 mod 3
==0 mod 5
==0 mod 7
x2==0 mod 3
==1 mod 5
==0 mod 7
x3==0 mod 3
==0 mod 5
==1 mod 7
那么2x1+3x2+2x3即为所求解x。

如果用我引进的向量记法(近来我发现网上也有作者有类似记法)，就更容易理解：
原题：x==(2,3,2) mod (3,5,7)
孙子定理：x1==(1,0,0);x2==(0,1,0);x3=(0,0,1)
x==2x1+3x2+2x3.

在求解x1时，显然x1==(0,0)mod (5,7),即x1被5，7整除。从而可设x1=5*7*k1==1 mod 3.
这里k1就是人们所说的乘率，古人求k1常用的就是大衍求一术。

这种方法实际上就是分化了维度，通过单位向量简化问题。近世代数的许多观点与方法，与这不谋而合，实际是受了中国剩余定理的启发。还有拉格朗日插值法，也与此一致。

同时我们还可以看到，x==(2,3,2) mod (3,5,7)
还可以等效于x==(2,2,2)+(0,1,0)，这样无疑是对上述算法的一种改进。正如牛顿插值法相对于拉格朗晶插值的改进。

还有很多例题，如果套用中国剩余定理，实际上还不如活用巧用。那么活用巧用的规律在哪里？这便是对中国剩余定理的改进。基于我的心得和笔记，我认为，中国剩余定理大有改进余地。

基于同余式组（就是以上类别的同余方程组），柯召·孙琦<数论讲义I>中，自然地引进了模余计数法。

我，基于其求解过程，建立了一种类似于向量的记法，矩阵的记法(称之为模积计数法。)并给出转化的快捷运算方案。
[求解过程就是二者的转换过程。用现代矩阵论的成果，并考虑到其中的对称性，可以简化中国剩余定理，进行非常快捷的计算.]

更多内容请参见我的文章：中国剩余定理大有改进余地-连分数-Lucas序列-欧几里德算法(辗转相除)-类矩阵符号记法
http://hi.baidu.com/wsktuuytyh/blog/item/bfb0c64c5580fafcd72afcb9.html

后面那道题：
x==5 mod 9
==1 mod 7
==2 mod 5
我提示一下：设x=5*7*k1+5*9*k2+7*9*k3,由条件，求出k1,k2,k3，然后代入即可求得。

Answer 2

dfjsdfdvjkxchvjsdklkhdshfsdlkhf