Question

急：初二下数学几何题。速度加分！~

①已知边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是异于A、D亮点的懂点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a，求证：无论E、F怎样移动，△BEF总是正三角形，请求出该三角形面积的变化范围。已知边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是异于A、D亮点的懂点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a，求证：无论E、F怎样移动，△BEF总是正三角形，请求出该三角形面积的变化范围。

②正△ABC，AB、AC的垂线交于D，在AB上任意取一点E，作∠EDF=60°，交AC于F，试探究，BE+CF=EF

速度加分！~
第二提的图。

Answer 1

证明：
1~~连接对角线BD
因为角A=60度
所以三角形ABD是等边三角形
所以角CDB=60度
因为AE+CF=a
所以DE=CF
又因为∠FBC+∠DBF=∠DBC=60°
即∠EBD+∠DBF=60
所以△BEF是正三角形
设：三角形BEF的边长为X，则面积为√3/4X²
而X的变化范围为a-√3/2a
所以面积为√3/4a²-3√3/16a²
2~~EF=FD,BE+CF=FD
BE+CF=EF

Answer 2

证明：(1)连接对角线BD，则△ABD，△CBD为两个全等三角形，因为AE+CF=a，所以
DE=CF，又∠EDB=∠FCB=60°，BC=BD=a,所以△BDE全等于△BCF，所以
BE=BF，∠EBD=∠FBC，又∠FBC+∠DBF=∠DBC=60°，
所以，∠EBD+∠DBF=60，△BEF是正三角形，
设△BEF的边长为X，则面积为√3/4X²，而X的变化范围为a-√3/2a.所以面积为
√3/4a²-3√3/16a²
(2) 不能证明，画图可知，设两垂足分别为G，H，很明显，点E在AG上，点F在AH上，BE+CF>EF

Answer 3

连接BD，由角A=60度得三角型ABD是等边三角形，可知道角CDB=60度，又AE+CF=a，又CF+DF=a，可知DF=AE，又BD=AB 角CDB=角A=60度，可知三角形 DBF 和ABE全等，所以BF=BE，且角FBD+角DBE=ABE+EBD=60度，三角形BEF是正三角
三角形BEF在E 和F 分别是中点时取到最小面积（3根号3/16）a方，当E F 和 A D、 D C 重合时面积最大（4根号3/16）a方，由于E 不能和A D 重合，此范围左闭又开。
第2个证明题显然有问题~~

Answer 4

DE=CF，又∠EDB=∠FCB=60°，BC=BD=a,所以△BDE全等于△BCF，所以
BE=BF，∠EBD=∠FBC，又∠FBC+∠DBF=∠DBC=60°，
所以，∠EBD+∠DBF=60，△BEF是正三角形，
设△BEF的边长为X，则面积为√3/4X²，而X的变化范围为a-√3/2a.所以面积为
√3/4a²-3√3/16a²
(2) 不能证明，画图可知，设两垂足分别为G，H，很明显，点E在AG上，点F在AH上，BE+CF>EF