Question

如图，三角形ABC内接于圆O，AH垂直BC于H，AD平分角BAC，D在圆O上

如图，三角形ABC内接于圆O，AH垂直BC于H，AD平分角BAC，D在圆O上

求证：AD平分HAO

Answer 1

因为角BAD=角CAD
所以只需证明角BAO=角CAH

而角CAH=90-角C
角BAO=1/2（180-角BOA）=90-1/2角BOA=90-角C=角CAH

故角BAD-角BAO=角CAD-角CAH
即AD平分HAO

Answer 2

证明：
延长AO，交⊙O于点F，连接BF
∵AF为⊙O 的直径
∴∠ABF=90°
∵∠F=∠C
∠AHC=90°
∴∠BAF=∠CAH
∵AD平分∠BAC
∴∠OAD=∠HAD
即：AD平分∠HAO

Answer 3

延长AO交圆O于E,连接BE。
∠E=∠C
RT△ABE∽RT△AHC
∠BAE=∠HAC
因为AD平分角BAC
所以AD平分角HAD