Question

f(x)=x⁴,设g(x)=-qf(x)+(2q-1)x²+1,是否存在实数q(q<0),使g(x)在(-∞,-4)上是减函数,在(-4,0)

f(x)=x⁴,设函数g(x)=-qf(x)+(2q-1)x²+1,问是否存在实数q(q<0),使得g(x)在区间(-∞,-4)上是减函数,且在(-4,0)上是增函数？若存在，求出q的值，若不存在，说明理由。

Answer 1

存在。
可设x²=t
则函数g(x)=-qf(x)+(2q-1)x²+1=-qt²+(2q-1)t+1 t属于零到正无限
可配方得对称轴为t=2q-1/2q 又q<0 a=-q 所以抛物线开口向上
g(x)在区间(-∞,-4)上是减函数,且在(-4,0)上是增函数
所以t必须在区间(16，+∞)上是减函数，且在(0，16)上是增函数
又x²=t本身是增函数，就很简单了。
那么对称轴要等于16
即 2q-1/2q=16 解得q=-1/30
满足(q<0)的条件。
所以...下结论。

完毕啦。

Answer 2

设x²=T，得g(x)=-qT²+(2q-1)T+1，由b²-4ac=4q²-4q+1+4q=4q²+1>0,肯定有解。因为g(
T)是抛物线，故-4是g(T)的端点横坐标值。-b/2a=1-2q/-2q=-4,q=1/10.