Question

高中数学选修4-5不等式问题

求证：(1)已知a,b,c均为正数，则1/2a+1/2b+1/2c>=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a);
(2)a^2+b^2>=ab+a+b-1.

Answer 1

(1)首先证明对于任意两个正数x，y,有1/4x+1/4y>=1/(x+y),证明方法很简单，就是1/4x+1/4y=（x+y)/4xy,4xy<=(x+y)^2,故（x+y)/4xy>=1/(x+y),其次1/2a+1/2b+1/2c=(1/4a+1/4b)+(1/4b+1/4c)+(1/4a+1/4c)>=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a),证明完毕。
(2)设a=x+1,b=y+1,代入原式得：x^2+2x+1+y^2+2y+1>=xy+x+y+1+x+1+y+1-1,即需要证明x^2-xy+y^2>=0
可以分情况讨论
当x，y中至少有一个为0时，不等式显然成立；
当x,y异号时，xy>0，不等式成立；
当x，y同号时，x^2+y^2>=2xy,x^2-xy+y^2>=xy>0，不等式成立。
注：第二题也可以用高等数学知识，设二元函数f(a,b)=a^2-ab+b^2-a-b+1,对a的偏导数f1=2a-b-1,对b的偏导数f2=2b-a-1，在极值点出它们的值均为0，解得a=b=1,此时函数取得最小值，并且等于0。

Answer 2

（1）
(a-b)^2>=0
(a+b)^2-4ab>=0
(a+b)/4ab>=1/(a+b)
1/4a+1/4b>=1/(a+b)
同理 1/4a+1/4c>=1/(a+c) 1/4c+1/4b>=1/(c+b)
所以 1/4a+1/4b+1/4a+1/4c+1/4c+1/4b>=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)
即 1/2a+1/2b+1/2c>=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)
（2）
将a^2+b^2>=ab+a+b-1 化简
(a-b)^2>=-(1-a)(1-b)
((1-b)-(1-a))^2>=-(1-a)(1-b)
接下来讨论下正负就可以了