Question

一道初二数学证明题

已知：如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADE.

求证：（1）△ACD≌△CBF【第一问我会证，但是可能对第二问有帮助，就写下来了】

（2）当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°？证明你的结论【请用初二知识~这是初二的题】

Answer 1

四边形CDEF为平行四边形

则∠DEF=∠FCB(平行四边形对角相等)

由(1）△ACD≌△CBF 知∠FCB=∠CAD=∠DEF=30°

∠CAD=30°，∠CAB=60度 即AD是∠CAB角平分线，

D是BC的中点！

也就是需要证明：当D是BC的中点时，

四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°。

连结BE。
D是BC的中点，根据题中，CD=BF，
所以F是AB的中点，
所以CF平分角ACB，角BCF=30度，
三角形ABE全等于ACD，角ABE=角ACD=60度，BE=CD=BD，
BD=BF，角BFD=角BDF=60度，所以三角形BDF也是等边三角形。

角BDF=角ABD 所以：DF平行于BC，

在三角形BDE中，角DBE=角ABE+角ABD=120度，角BED=角BDE=30度。

角BDE=角BCF 所以，DE平行于CF。

即四边形CDEF为平行四边形
且有∠DEF=∠FCB=30度

另外备注：我不知道，
课本中有没有：两组对边分别对应相等的四边形是平行四边形。
（这个可以证明的，只是不知道课本中有没有）

如果有这个判定定理的话，那么证明过程就简单多了。

DF=CD，DE=CF

非常容易得出的。

Answer 2

四边形CDEF为平行四边形

则∠DEF=∠FCB(平行四边形对角相等)

由(1）△ACD≌△CBF 知∠FCB=∠CAD=∠DEF=30°

∠CAD=30°，∠CAB=60度 即AD是∠CAB角平分线，

D是BC的中点！

也就是需要证明：当D是BC的中点时，

四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°。

连结BE。
D是BC的中点，根据题中，CD=BF，
所以F是AB的中点，
所以CF平分角ACB，角BCF=30度，
三角形ABE全等于ACD，角ABE=角ACD=60度，BE=CD=BD，
BD=BF，角BFD=角BDF=60度，所以三角形BDF也是等边三角形。

角BDF=角ABD 所以：DF平行于BC，

在三角形BDE中，角DBE=角ABE+角ABD=120度，角BED=角BDE=30度。

角BDE=角BCF 所以，DE平行于CF。

即四边形CDEF为平行四边形
且有∠DEF=∠FCB=30度

Answer 3

(1)根据AC=BC,CD=BF,角FBC=角DCA=60°证△ACD≌△CBF
（2）连BE,要得到D在BC上的位置即求F在AB上的位置，由第一题可得AD=CF,假设四边形CDEF为平行四边形，则CD=EF,DE=CF.
而AD=DE=CF可得，即题目只需要根据CD=EF=BF和∠DEF=30°来求出D和F的位置.由四边形CDEF为平行四边形可得∠EFB=60°，而EF=BF,所以△BEF为等边三角形，而∠DEF=30°，所以∠DEB=∠DEF=∠AEF=30°，所以∠BAE=30°，由∠AEF=∠EAF可得EF=AF,所以EF=BF=AF,所以F是AB的中点，所以D是BC的中点

Answer 4

D在BC中点

因为∠BDE+∠ADE=∠DAC+∠ACB
∠EDA=∠BAC=60°
所以∠BDE=∠DCF
所以ED\\CF
因为ABD≌△AFC（可以证出来步骤我不说了
所以AD=FC
因为AD=ED
所以FC=ED
因为FC//ED
所以EFCD是平行四边形
因为D是中点
所以∠DEF=30°
所以∠DAC=∠BCF=30°