Question

急!~~高手进,几道初中数学题(在线等.急!)

这几道题,我今天急需,拜托大家了.
不仅要答案,还要步骤的!!!谢谢了!
1.在Rt△ABC中斜边c=10,两直角边a≤8,b≥8,则a+b的最大值为( )
A.10√2 B.14 C.8√3 D.16

2.若0<a<b<c<d,且方程x^2+dx+a=0与x^2+cx+b=0都有两个不同的实根,问这两个方程共有几个不同的实根?

3.过三角形ABC的顶点A任作一条直线m,过点B、C作m的垂线,垂足分别为D、E,试求BD+CE的最大值.

4.设凸四边形ABCD的面积为1,P为四边形内一点,PA^2+PB^2+PC^2+PD^2=2,试判断四边形ABCD的形状,并证明你的结论.

5.若干人相聚,其中有些人彼此认识.若(1)如果某两个人认识的人数相等,则他们没有共同的熟人；（2）有一个人至少有100个熟人。证明：可以找到一个参加聚会的人，他恰好有100个熟人。

6.试写出三个正整数，使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除，并判断是否存在5个正整数满足上述条件。
急!~~大家帮忙啊!这是初中的竞赛题
大家不要互相抄袭!
第一题是14,a=6,b=8,但谁知道步骤啊!教下我
我真的急需,大家帮帮忙啊!跪求答案!

Answer 1

1.在Rt△ABC中斜边c=10,两直角边a≤8,b≥8,则a+b的最大值为( A )
A.10√2 B.14 C.8√3 D.16
解:因为a+b=√(c^2+2ab)=√[100+2a√(100-a^2)]
所以，当2a√(100-a^2)有最大值时，a+b有最大值。
而2a√(100-a^2)=2√(100a^2-a^4),当100a^2-a^4有最大值时，2a√(100-a^2)的值最大。
设Y=100a^2-a^4,当a^2=-100/(-2)=50时，Y有最大值2500。
所以2a√(100-a^2)=2√(100a^2-a^4)=2*50=100，
所以a+b=√(c^2+2ab)=√[100+2a√(100-a^2)]=√200=10√2

2.解：共有三个不同的实根。
设方程x^2+dx+a=0是函数y=x^2+dx+a与X轴的交点，方程x^2+cx+b=0是函数y=x^2+cx+b与X轴的交点，这两个方程都有两个不同的实根，说明这两个函数和X轴都有两个交点。当x=(b-a)/(d-c)时，它们交于X轴上共同一点。所以两个方程有一个公共的实根，共有三个不同的实根。

3.BD+CE的最大值=BC.
解：过三角形ABC的顶点A任作一条直线m,过点B、C作m的垂线,垂足分别为D、E,
设m交BC于点F,当AF与BC不垂直时，CE<FC,BD<BF,所以BD+CE<BC,只有AF垂直BC时，E、F、D三点重合，BD+CE=BC,这时BD+CE值最大。

4.四边形ABCD为正方形。
证明：过点P分别作AB、BC、CD、DA的垂线，垂足分别为E、F、G、H.
根据勾股定理得：PE^2+AE^2=PA^2,AE^2+BE^2=PB^2,PF^2+BF^2=PB^2,PF^2+FC^2=PC^2,PG^2+GC^2=PC^2,PG^2+DG^2=PD^2,PH^2+DH^2=PD^2,PH^2+AH^2=PA^2.左右分别相加得：（PE^2+AE^2）+（AE^2+BE^2）+（PF^2+BF^2）+（PF^2+FC^2）+（PG^2+GC^2）+（PG^2+DG^2）+（PH^2+DH^2）+（PH^2+AH^2）=2（PA^2+PB^2+PC^2+PD^2）=4（因为P为四边形内一点,PA^2+PB^2+PC^2+PD^2=2）。
因为凸四边形ABCD的面积=1/2（PE*AE+PE*BE+PF*FC+PG*GC+PG*DG+PH*HD+PH*AH)=1.
所以（PE^2+AE^2）+（AE^2+BE^2）+（PF^2+BF^2）+（PF^2+FC^2）+（PG^2+GC^2）+（PG^2+DG^2）+（PH^2+DH^2）+（PH^2+AH^2）=2（PE*AE+PE*BE+PF*FC+PG*GC+PG*DG+PH*HD+PH*AH)
所以（PE-AE)^2+（AE-BE)^2+（PF-BF)^2+（PF-FC)^2+（PG-GC)^2+（PG-DG)^2+（PH-DH)^2+（PH-AH)^2=0
所以PE=AE=BE、PF=BF=FC、PG=GC=DG、PH=DH=AH
所以三角形APB、BPC、CPD、DPA都是等腰直角三角形，
所以四边形ABCD为正方形。

5.若干人相聚,其中有些人彼此认识.若(1)如果某两个人认识的人数相等,则他们没有共同的熟人；（2）有一个人至少有100个熟人。证明：可以找到一个参加聚会的人，他恰好有100个熟人。

6.试写出三个正整数，使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除，并判断是否存在5个正整数满足上述条件。
解：（1）比如3，6，9。（2）

Answer 2

1.在Rt△ABC中斜边c=10,两直角边a≤8,b≥8,则a+b的最大值为( A )
A.10√2 B.14 C.8√3 D.16
解:因为a+b=√(c^2+2ab)=√[100+2a√(100-a^2)]
所以，当2a√(100-a^2)有最大值时，a+b有最大值。
而2a√(100-a^2)=2√(100a^2-a^4),当100a^2-a^4有最大值时，2a√(100-a^2)的值最大。
设Y=100a^2-a^4,当a^2=-100/(-2)=50时，Y有最大值2500。
所以2a√(100-a^2)=2√(100a^2-a^4)=2*50=100，
所以a+b=√(c^2+2ab)=√[100+2a√(100-a^2)]=√200=10√2

2.解：共有三个不同的实根。
设方程x^2+dx+a=0是函数y=x^2+dx+a与X轴的交点，方程x^2+cx+b=0是函数y=x^2+cx+b与X轴的交点，这两个方程都有两个不同的实根，说明这两个函数和X轴都有两个交点。当x=(b-a)/(d-c)时，它们交于X轴上共同一点。所以两个方程有一个公共的实根，共有三个不同的实根。

3.BD+CE的最大值=BC.
解：过三角形ABC的顶点A任作一条直线m,过点B、C作m的垂线,垂足分别为D、E,
设m交BC于点F,当AF与BC不垂直时，CE<FC,BD<BF,所以BD+CE<BC,只有AF垂直BC时，E、F、D三点重合，BD+CE=BC,这时BD+CE值最大。

4.四边形ABCD为正方形。
证明：过点P分别作AB、BC、CD、DA的垂线，垂足分别为E、F、G、H.
根据勾股定理得：PE^2+AE^2=PA^2,AE^2+BE^2=PB^2,PF^2+BF^2=PB^2,PF^2+FC^2=PC^2,PG^2+GC^2=PC^2,PG^2+DG^2=PD^2,PH^2+DH^2=PD^2,PH^2+AH^2=PA^2.左右分别相加得：（PE^2+AE^2）+（AE^2+BE^2）+（PF^2+BF^2）+（PF^2+FC^2）+（PG^2+GC^2）+（PG^2+DG^2）+（PH^2+DH^2）+（PH^2+AH^2）=2（PA^2+PB^2+PC^2+PD^2）=4（因为P为四边形内一点,PA^2+PB^2+PC^2+PD^2=2）。
因为凸四边形ABCD的面积=1/2（PE*AE+PE*BE+PF*FC+PG*GC+PG*DG+PH*HD+PH*AH)=1.
所以（PE^2+AE^2）+（AE^2+BE^2）+（PF^2+BF^2）+（PF^2+FC^2）+（PG^2+GC^2）+（PG^2+DG^2）+（PH^2+DH^2）+（PH^2+AH^2）=2（PE*AE+PE*BE+PF*FC+PG*GC+PG*DG+PH*HD+PH*AH)
所以（PE-AE)^2+（AE-BE)^2+（PF-BF)^2+（PF-FC)^2+（PG-GC)^2+（PG-DG)^2+（PH-DH)^2+（PH-AH)^2=0
所以PE=AE=BE、PF=BF=FC、PG=GC=DG、PH=DH=AH
所以三角形APB、BPC、CPD、DPA都是等腰直角三角形，
所以四边形ABCD为正方形。

5.若干人相聚,其中有些人彼此认识.若(1)如果某两个人认识的人数相等,则他们没有共同的熟人；（2）有一个人至少有100个熟人。证明：可以找到一个参加聚会的人，他恰好有100个熟人。

6.试写出三个正整数，使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除，并判断是否存在5个正整数满足上述条件。

Answer 3

1:建立直角坐标系,如果你知道圆的方程,你就知道a^2+b^2=10^2(即a的平方加上b的平方等于100)是以坐标原点为圆心,10为半径的圆,而a,b均应大于0,所以坐标系上可以画出一个四分之一圆,在第一象限.由于a小于等于8,b大于等于8,令a=x,b=y,令x+y=z,则y=z-x,综上所述,我们可以得到一个区域和一条直线,该区域是a,b的可能取值范围,而直线与这区域的最上边的切点(即直线与圆弧的切点)就是所求,所以当x取6,y取8时,a+b有最大值14
2.解：共有三个不同的实根。
设方程x^2+dx+a=0是函数y=x^2+dx+a与X轴的交点，方程x^2+cx+b=0是函数y=x^2+cx+b与X轴的交点，这两个方程都有两个不同的实根，说明这两个函数和X轴都有两个交点。当x=(b-a)/(d-c)时，它们交于X轴上共同一点。所以两个方程有一个公共的实根，共有三个不同的实根。
3.过三角形ABC的顶点A任作一条直线m,过点B、C作m的垂线,垂足分别为D、E,试求BD+CE的最大值.
BC上中线的2倍
4.设凸四边形ABCD的面积为1,P为四边形内一点,PA^2+PB^2+PC^2+PD^2=2,试判断四边形ABCD的形状
5.若干人相聚,其中有些人彼此认识.若(1)如果某两个人认识的人数相等,则他们没有共同的熟人；（2）有一个人至少有100个熟人。证明：可以找到一个参加聚会的人，他恰好有100个熟人。

Answer 4

1解：由a^2+b^2=100且(a-b)^2≥0 得ab≤50,(a+b)=√100+2ab. 由此可 知当a=b=5√2时ab取得最大值50，此时a+b也相应有最大值10√2。 但是题中有条件"两直角边a≤8,b≥8”所以上述的最大值10√2不成立，不选A； 因2为16>10√2所以不选D；有a=6,b=8时a+b的最大值14,选B。
2解:共有3个不同的实根。因为 方程x^2+dx+a=0与x^2+cx+b=0有一相同的实根x=(b-a)\(d-c)，它们的另一根不同了。所以共有3个不同根。
3题：当直线m垂直于BC时此时相应的BD+CE最大.设三角形ABC的面积为S，BC边上的高为h,则BD+CE的最大值＝2S\h. 4题：.四边形ABCD为正方形。 5题6题没时间答了，对不起！

Answer 5

1题是16
回答者：轻巧夺冠金版 - 童生 一级 8-4 11:35

1.在Rt△ABC中斜边c=10,两直角边a≤8,b≥8,则a+b的最大值为( A)
A.10√2 B.14 C.8√3 D.16

2.若0<a<b<c<d,且方程x^2+dx+a=0与x^2+cx+b=0都有两个不同的实根,问这两个方程共有几个不同的实根?

两个。
x=-(a+b)/(c+d)是它们相同的根

3.过三角形ABC的顶点A任作一条直线m,过点B、C作m的垂线,垂足分别为D、E,试求BD+CE的最大值.

BC上中线的2倍

4.设凸四边形ABCD的面积为1,P为四边形内一点,PA^2+PB^2+PC^2+PD^2=2,试判断四边形ABCD的形状,并证明你的结论.

5.若干人相聚,其中有些人彼此认识.若(1)如果某两个人认识的人数相等,则他们没有共同的熟人；（2）有一个人至少有100个熟人。证明：可以找到一个参加聚会的人，他恰好有100个熟人。

6.试写出三个正整数，使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除，并判断是否存在5个正整数满足上述条件。