Question

已知x ∈[-2,2]时,不等式x²-ax+3-a≥0恒成立,求实数a的取值范围

RT

Answer 1

f(x)=x^2-ax+3-a
=(x-a/2)^2+3-a-a^2/4
=(x-a/2)^2-[(a/2+1)^2-4]

这是个开口向上的抛物线,对称轴为x=a/2,最小值为3-a-a^2/4
分三种情况讨论:
1:x=a/2≤-2,且x=-2,f(x)≥0时
-7≤a≤-4

2:-2≤x=a/2≤2,且x=a/2,f(x)=0时
3-a-a^2/4=0
a1=2
a2=-6......a/2=-3<-2舍去

3:x=a/2≥2,且x=2,f(x)≥0时
4≤a≤7/3矛盾,舍去

综合结论:a=2以及-7≤a≤-4

Answer 2

通常情况下，我们构造函数ƒ（x）＝x²－ax＋3－a（－2≤x≤2）,使ƒ（x）≥0
但我们还可以将函数写成ƒ（a）＝（－x－1）a＋x²＋3(关于a的线性函数)
∵－2≤x≤2,∴－3≤－x－1≤1
①若－x－1＝0,x＝－1,ƒ（a）＝1＋3＝4＞0
②－x－1≠0,ƒ（a）在x=2或x＝－2时肯定取得两个最值，∴｛－3a＋7≥0,
a＋7≥0｝∴－7≤a≤7/3
综上，－7≤a≤7/3