Question

关于矩阵对角化的问题

既然n阶矩阵A可以对角化的充要条件是A有n个现行无关的特征向量。
我们也知道属于不同特征值得特征向量线性无关。
那么为什么是对称矩阵对角化非要找个是对称矩阵呢？也就是说求出不同特征值对应的特征方程的基础解析不就行了吗（他们肯定是线性无关的），为什么还要正交化了单位化。
最近做这类题有些迷茫，有时要求正交矩阵，有时直接求出基础解析足交可以了
请高手帮我总结一下对于普通方阵和是对称矩阵对角化的步骤！！

Answer 1

问题的关键在于：

（1）普通矩阵也许可以对角化，但属于不同特征值的特征向量不一定彼此正交，换句话说，你不一定能取到一组标准正交基，使得原来的线性变换在这组基下的矩阵是对角矩阵，所以对于普通矩阵只能相似对角化，不能强求正交相似对角化；

（2）而对于实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量一定正交，而属于同一特征值的不同特征向量，也可以经过Schmidt氏正交化步骤使其正交，这就使得实对称矩阵正交相似对角化成为可行。而如果只是求出各特征方程的基础解系，那么因为属于同一特征值的不同特征向量，还不一定彼此正交，所以这样做所得到的过渡矩阵不一定是正交矩阵，不能达到正交相似对角化的目的。

综上所述：

对于普通矩阵A：①求出其所有不同的特征值；
②对于每个特征值 λ ，测试 λI－A 的秩是否等于 （λI－A）^2的秩，如果不等，则原矩阵无法对角化，反之，求出方程 （λI－A）x＝0的一个基础解系；
③如果上一步的所有测试都已通过，则将求得的所有基础解系中各个向量按列排列成一个矩阵P，则P可逆且AP＝PD，D为对角矩阵。

对于实对称矩阵A：①求出其所有不同的特征值；
②对于每个特征值，求出方程 （λI－A）x＝0的一个基础解系，并将其正交化和归一化；
③将上一步求得的各个向量按列排列成一个矩阵P，则P为正交矩阵且AP＝PD，D为对角矩阵。

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Answer 2