Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<1/a,当x∈(0,x1)时,求证x<f(x)<x1

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<1/a,当x∈(0,x1)时,求证x<f(x)<x1

Answer 1

构造函数g(x)=f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)
0<x1<x2<1/a x∈(0,x1)
a>0 (x-x1)(x-x2)>0
g(x)>0
要证明f(x)<x1 即证 f(x)-x+x-x1<0
即a(x-x1)(x-x2)+(x-x1)<0
(x-x1)(ax-ax2+1)<0
因为0<x1<x2<1/a x∈(0,x1)
所以(x-x1)(ax-ax2+1)<0成立
x<f(x)<x1

Answer 2

由韦达定理有：
x1+x2=-(b-1)/a>1/a
x1*x2=c/a>0
得到：
b>0
则有：
f(x)的一阶导为2ax+b>0恒成立，在区间(0,x1)上
则此时f(x)在在区间(0,x1)上为增函数
且有f(x1)=x1,f(0)=c>0
则有，在区间(0,x1)上：
x<f(x)<x1