Question

求几道初中数学竞赛题的解答，急！！

1.已知a、b均为实数，a的绝对值小于1，b的绝对值小于1，且满足
b√（1-a^2)+a√(1-b^2)=1,求证：a^2+b^2=1.

2.设a、b、c为不等于1的正数,且c=ab,a^x=b^y=c^z,求证：z=xy/(x+y).

3.已知a、b、c、d为任意正数，求证：
1＜a/(a+b+d)+b/(b+c+a)+c/(c+d+b)+d/(d+a+c)＜2

4.19支足球队举行单循环赛，已知每支球队至少和其余13支球队进行过比赛，
求证：必可找到四个球队，它们之中任何两队都已赛过。

（符号解释：“^”就是几次方的意思，如a^2的意思就是a的二次方，a^x的意思就是a的x次方。“√”是根号的意思，它后面加括号的部分就是根号内的部分，如√（1-a^2)的意思就是（1-a^2)开根号。“/”可以当分数线的意思，也就是除号，它后面加括号的部分就是分母（即除数）。）
大家都能看懂了吧？能写几道是几道，哪里没看懂的再提出来。

Answer 1

1.
变形
b√(1-a^2)=1-a√(1-b^2)
两边平方
b^2(1-a^2)=1+a^2(1-b^2)-2a√(1-b^2)
即
1+a^2-b^2=2a√(1-b^2)
两边再平方
1+a^4+b^4+2a^2-2a^2b^2-2b^2=4a^2-4a^2b^2
即
a^4+b^4+2a^2b^2-2a^2-2b^2+1=0
也就是
(a^2+b^2-1)^2=0
显然a^2+b^2=1,得证

2.
由题意
a^(xy)=(a^x)^y=c^yz
b^(xy)=(b^y)^x=c^xz
两式相乘:
(ab)^xy=c^(yz+xz)=(ab)(yz+xz)
也就是
xy=yz+xz
即
z=xy/(x+y),得证

3
不等式左边把分母放大：
a/(a+b+c)>a/(a+b+c+d)
b/(b+c+a)>b/(a+b+c+d)
c/(c+d+b)>c/(a+b+c+d)
d/(d+a+c)>d/(a+b+c+d)
相加得证
右边把分母缩小:
a/(a+b+c)<a/(a+b)
b/(b+c+a)<b/(a+b)
c/(c+d+b)<c/(c+d)
d/(d+a+c)<d/(c+d)
相加得证

4.
任意找到两支足球队a,b,他们之间比赛过
那么a还跟a,b之外的17支足球队至少进行过12场比赛，b也是
两队跟a,b之外的足球队总共至少进行过24场比赛
a,b之外的足球队只有17支
根据抽屉原理，至少有24-17=7支球队跟a,b都比赛过
从这7支球队中任选一支球队c,c除了跟a,b之外的球队至少比赛过11场，由11>(19-2-7)=10,根据抽屉原理，c至少跟7支球队中的某个球队d比赛过
那么a,b,c,d这四支球队就互相两两比赛过
得证

Answer 2

第一题：
a√(1-b^2)=1-b√（1-a^2)
两边平方
得a^2(1-b^2)=1-2b√（1-a^2)+b^2(1-a^2)
处理下，可以发现一个完全平方式：（1-a^2）-2b√（1-a^2)+b^2=0
所以a^2+b^2=1，具体过程我就不写了，打起来太麻烦！！！