Question

如图,在三角形ABC中,P为BC边上与B.C不重合的任意一点,且AB=AC.求证:BP乘以CP=AB^2-AP^2.

Answer 1

是等边三角形吧
看三角形ABP,
由余弦定理有，
AP^2=AB^2+BP^2-2cosB*AB*BP=AB^2+BP^2-AB*BP
同理，看三角形ACP有，
AP^2=AC^2+CP^2-2cosC*AC*CP=AC^2+CP^2-AC*CP
两式相加得
2AP^2=2AB^2+BP^2+CP^2-AB*(BP+CP)=2AB^2+BP^2+CP^2-AB*BC=AB^2+BP^2+CP^2
=AB^2+(BP+CP)^2-2*BP*CP=AB^2+(BC)^2-2*BP*CP=2*AB^2-2*BP*CP
所以AP^2=AB^2-BP*CP
所以BP*CP=AB^2-AP^2

补充另一个做法，用勾股定理
作AD垂直于BC，垂足为D，
因为ABC为等边三角形，
所以BD=CD
AB^2-AP^2
=AD^2+BD^2-AD^2-DP^2
=BD^2-DP^2
=(BD+DP)(BD-DP)
=(BD+DP)(CD-DP)
=BP*CP