Question

判断一个函数是否有原函数

在一本书中看到如果一个函数有第一类间断点则这个函数没有原函数。
请问为什么？

Answer 1

这是不正确的.
比如函数f(x)={
-1, x＜0；
1, x≥0；
在x→0时,其左极限=1,右极限=-1;是第一类间断点中的跳跃间断点,但它是有原函数的: ∫f(x)=|x|+C.

第二类间断点也是有原函数的:如f(x)=1/x,其原函数就是 ∫f(x)= ln|x| +C

Answer 2

而存在原函数的函数不一定要求是连续函数。
比如说存在第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）的函数。

原函数就是对函数进行一次积分，存在必然是无穷个。
基本的可以看成是曲线与x轴围成的面积函数。

Answer 3

因为有一个定理是说“导函数的左极限等于左导数、导函数的右极限等于右导数”，所以当导函数存在（意味着左右导数存在且相等）时，它一定是连续函数（左右极限也存在且相等）。

Answer 4

楼上都不正确。
一个函数如果是某函数的导函数，必须有介值性。而跳跃间断点附近的函数必定没有介值性。