Question

一道数列和不等式结合的题目

数列｛an｝为等差数列，an为正整数，其前n项和为Sn，数列｛bn｝为等比数列。且a1=3,b1=1,数列｛ban｝（an是在b的下面）是公比为64的等比数列。b2×S2=64
求证1/S1+2/S2+...+1/Sn<3/4

高手指点，感激不敬！

Answer 1

解：(1) 由an 是等差数列知:a1=3，a2=3+d ；s2=a1+a2=6+d
bn是等比数列得：bn=q^(n-1),b2=q，又由
b2×S2=64 即q*（6+d）=64 记为一式；
b（an）是等比数列：b（a2）/b（a1）=q^d=64 记为二式
结合一二式解得：d=2，q=8
所以得：an=2n+1 ，bn=8^(n-1)
(2)由（1）知：sn=（a1+an）*n/2=n*(n+2)；
1/S1=1/(1*3) 1/2 *(1-1/3) , 1/S2=1/(2*4)=1/2*(1/2-1/4) ……
1/sn=1/（n*(n+2)）=1/2 *(1/n—1/n+2)
所以（2）
原式=1/2*(1-1/3 +1/2-1/4+1/3-1/5 +……+1/(n-1)-1/(n+1)+1/n -1/(n+2)
=1/2*(1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2))
=1/2*(n/(n+1)+n+1/(n+2)-1/2)<1/2*(1+1-1/2)=3/4
证毕。

参考:

设{An}公差为d,{Bn}公比为q.
则A2=A1+d=3+d,A3=A2+d=3+2d.
B2=qB1=q,B3=qB2=q^2.
B2×S2=q×(3+3+d)=64.
B3×S3=q^2×(3+3+d+3+2d)=960.
所以
d=2,q=8.
所以
An=A1+(n-1)×d=2n+1.
Bn=B1×q^(n-1)=8^(n-1).
(2)
Sn=n^2+2n.
1/Sn
=1/[n(n+2)]
=1/2[1/n-1/(n+2)]
=1/(2n)-1/[2(n+2)]
所以
1/S1+1/S2+..+1/Sn
=1/2(1+1/2+...+1/n)-1/2(1/3+1/4+...+1/(n+2)]
=1/2+1/4-1/[2(n+1)]-1/[2(n+2)]
=3/4-1/2[1/(n+1)+1/(n+2)]
<3/4.

Answer 2

a(n)=3+(n-1)d,d为非负整数.
S(n)=3n+n(n-1)d/2.

b(n)=q^(n-1),
b[a(n)]=q^[a(n)-1]=q^[3+(n-1)d-1]=q^(3-1)*[q^d]^(n-1)=[q^2]*[q^d]^(n-1).
q^d=64.

64=b(2)S(2)=q*[6+d],
q=64/(6+d).

64=q^d=[64/(6+d)]^d=64^d/(6+d)^d,
(6+d)^d=64^(d-1)=2^[6(d-1)],
d=2.

S(n)=3n+n(n-1)d/2=3n+n(n-1)=n^2+2n=n(n+2)
1/S(n)=1/[n(n+2)]=(1/2)[1/n-1/(n+2)],
1/S(1)+1/S(2)+1/S(3)+...1/S(n-2)+1/S(n-1)+1/S(n)
=(1/2)[1/1-1/3 + 1/2-1/4 + 1/3-1/5 +...+ 1/(n-2)-1/n + 1/(n-1)-1/(n+1) + 1/n-1/(n+2)]
=(1/2)[1/1+1/2 - 1/(n+1) - 1/(n+2)]
=(1/2)[3/2 - 1/(n+1) -1/(n+2)]
=3/4 -(1/2)[1/(n+1)+1/(n+2)]
<3/4