Question

高一数学求助

方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)恰有1解,求a范围

Answer 1

从所提出的问题看出，你的数学应该已经具备了相当的基础。需要从另一个方面来全面提高数学水平。那就是每当拿到一道题时，首先从老师的角度思考这道题所考查的知识点是什么，这样才能更上一层楼。

  这道题表面上看，是个对数问题，但真正所考查的知识点，是二次函数。包括：定义域、根与系数的关系、图像，重点是图像。

  2楼的思路正确，但考虑的不全面，答案不正确；3楼也只考虑了一个方面，答案不完整。

  解题过程如下：

解：

  依题意，可得出定义域为 1<x<3， x<a

  此时可得（x-1)(3-x)=a-x

  整理得x&sup2;-5x+a+3=0

  构造二次函数f(x)=x&sup2;-5x+a+3

  该函数在定义域 1<x<3， x<a内，应该与x轴有一个交点（即为有一解）

  其图像是一个开口向上（一次项系数大于0），对称轴为x=5/2（利用对称轴公式），与y轴交点为a+3

  此时，要考虑两种情况：

  （1）（如图1）函数与x轴只有一个交点，利用函数对称性知，这个交点即为x=5/2，此时a=13/4 ；

  （2）（如图2）函数与x轴有两个交点，一个在定义域内，一个在定义域外，也同样符合题意。利用函数对称性知，只要该函数的小根在1<x≤2范围内，即符合题意。

  （需要说明的是，定义域为1<x<3，由于其小根一定在对称轴之左，所以应该小于2.5，但由对称性知，如果小根在2到2.5之间，则大根一定在2.5到3之间，这样，在定义域中就有了两个解，不合题意。尤其是要考虑x=2的情况，可以看出，如果小根为x=2,则大根为x=3,而x=3不在定义域内，故x=2成立）

  由f(1)>0和 f(2）≤0得出：1<a≤3

  综合上述，a的取值范围为：1<a≤3或a=13/4

Answer 2

lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)
lg[(x-1)(3-x)]=lg(a-x)
lg在实数上是单调函数
所以(x-1)(3-x)=a-x
(x-1)(x-3)=x-a
x^2-4x+3=x-a
x^2-5x+a+3=0
恰有一解，所以用一元二次方程根的判别式
25-4(a+3)=0
a=13/4

Answer 3

首先得出定义域 1<x<3 x<a
（x-1)(3-x)=a-x
x^2-5x+a+3=0=f(x)
在定义域范围内有一解
结合二次函数图像，对称轴 的 大概图像
得f(1)>0 f(3)<0
得 1<a<3

Answer 4

对了

Answer 5

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