Question

还有一道数学题，请大家帮忙。（八年级下学期的）

如图，△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D点作DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，过B作BG⊥AC于G
1〉求证：BG=DF+DE
2〉若D在BC延长线上，结论是否仍然成立？请写出你的猜想，并给予证明。

Answer 1

这个题实际上是一个结论:等腰三角形底边上任意一点到二腰得距离之和等于一

腰上的高

(1)可以用一种很简单的方法来证明(面积法))

连接AD则S=1/2AC.BG=1/2AB.DF+1/2AC.DE

因为AB=AC,约掉

1/2BG=1/2DF+1/2DE

所以BG=DF+DE

如果用全等的方法证明也能证出来,要过点D作DM垂直BG于M来证明

2不成立,因为此时BG=DF-DE，方法同（1)

Answer 2

1）很好做的，不用怕这种题
在BC下面做AB关于BC对称的线段BH,把ED延长交BH于J，则DF=DJ，因为BH平行于AC，所以BG=EJ，得证
2）
当然不成立了
应该是BG=DF－DE
还是做那个辅助线就用同样的方法证明就是了

Answer 3

1>
∵ DE⊥AC，BG⊥AC
∴ △CDE∽△CBA
∴FD：BD=DE：CD

∴DE：CD=（FD+DE）：（BD+CD）------（a)

由AB=AC得∠B=∠C，DF⊥AB，DE⊥AC
∴△CDE∽△CBA
得DE：BG=CD：BC 即 DE：BG=CD：（BD+CD）
也即 DE：CD=BG：（BD+CD） -------(b)

由(a)、(b)得DE：CD=BG：（BD+CD）=（FD+DE）：（BD+CD）

∴BG=DF+DE

2>、不成立
假设D在BC延长线外上任意一点。

∴BG=DF-DE

Answer 4

证明：（1）
连接AD，则S△ABC=AC*BG=S△ABD+S△ACD=AC*DE+AB*DF=AC*（DF+DE）
∴BG=DF+DE
（2）不成立，BG=DF-DE，方法同（1）