Question

求用 赋值法 做一道函数解答题，高一的

定义在实数集上的奇函数f(x),对于任意正实数x都有f(x+2)= -f(x)。当x∈【-1，1】时f(x)=x的立方。

1.证明f(x)关于x=1对称。
2.x∈【1，5】时求f(x)的解析式？？

此题为解答题，请详细的写出解答过程，多谢各位高手咯~~

Answer 1

1.证明:f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x),对于任意正实数x都有f(x+2)= -f(x),
故f(x+1)=f(x-1+2)=-f(x-1)=f(1-x) 即f(x)关于x=1对称
2.f(x)关于x=1对称,x∈[-1，1]时f(x)=x^3,x+2∈[1，3],f(x+2)=-f(x)=-x^3
即x∈[1，3]时,f(x)=-(x-2)^3.此时x+2∈[3，5],f(x+2)=-f(x)=(x-2)^3
即x∈[3，5]时,f(x)=(x-4)^3
综上，x∈[1，3]时,f(x)=-(x-2)^3;x∈[3，5]时,f(x)=(x-4)^3.

Answer 2

1，关于x=1对称。因为X属于[-1,1]时f(x)=x^3，不关于X=1对称，所以不成立
2,分段函数[0,1]是X^3,[3,5]是（X-4）^3,[1,3]是负（X-2）^3。
过程真是不好说，因为是图像法解题。如果用赋值法也会死需要用关键点描绘图像解答。

Answer 3

画图像就能看出来.x三次方在负一到一是增函数,跟tan的图像类似.
至于赋值法,不外乎就是令X=0,X=1,X=-1用这些简单数据带入发现关系.

Answer 4

1f(x+2)= -f(x)=f(x)

f(x+1)= -f(x-1)=f(x-1)

2用上面方法即可

Answer 5

令x=y=0
f(0)=0
令y=x
f(2x)=2f(x)
f(x)=1/2f(2x)
设x为任意实数,y<0,f(x+y)-f(x)=f(y)>0
所以f(x)单调减
1/2*f(bx^2)-f(x)>1/2*f(b^2*x)-f(b)
=>1/2*[f(bx^2)-f(b^2*x)]>f(x)-f(b)
=>1/2*f(bx^2-b^2*x)>f(x-b)
=>f((bx^2-b^2*x)/2)>f(x-b)
bx^2-b^2*x<2(x-b)
bx^2-(b^2+2)x+2b<0
(bx-2)(x-b)<0
x1=2/b,x2=b
x2-x1=(b^-2)/b
若b>根号2,x2>x1,解集(2/b,b)
b=根号2,x2=x1,无解
若b<-根号2,x2
根号2,x2>x1,解集(2/b,b)
b<-根号2,x2
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