Question

AB是圆O的直径，∠BAC=30°，M是OA上的一点，

过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=E。
①证明：CF是圆O的切线。
②设圆O的半径为1，且AC=CE，求MO的长。

Answer 1

（1）证明：连接BC、OC.因为角A=30°，所以角B=60°.故∠E=∠ECF=30°
因为OC=OB,所以∠OCB=60°。所以角FCO=90°。所以CF为圆O的切线。
（2）可证三角形OCB是等边三角形。所以BC=1.
所以AC=根号3.
所以BE=根号3 +1
所以BM=（根号3 +1）/2
所以MO=（根号3 +1）/2 -1 =（根号3 -1）/2