Question

求所有使2^4+2^7+2^n为完全平方数的值

Answer 1

n有唯一取值8,下面为求解及证明唯一解过程。
设原式=k^2,k为正整数，则k^2=144+2^n,2^n=(k+12)(k-12),两边去以2为底的对数(下面的log都是以2为底，就不写了）,得到n=log(k+12)+log(k-12).可以看出，若k+12和k-12都是2的整数次方，则可求出n. 设k+12=2^x,k-12=2^(x-a),
消去k可以得到2^x-2^(x-a)=24, 所以2^x=24*2^a/(2^a-1),右边的分式分子分母同除2^a，变形为2^x=24/(1-1/2^a),可以看出2^x在a是正整数的情况下是一个单调递减函数且2^x<24.a=1时，2^x为最大值48.在24到48之间的2的整数次方只有一个32，所以原式最多有一个解。2^x=24/(1-1/2^a)=32时，可解出a=2,即解存在。将a=2即2^x=32带回得到k=20,再将k带回得到n=8.