Question

已知a≥0,b≥0,a+b=1,则√(a+1/2)+√(b+1/2)的取值范围

Answer 1

已知a≥0，b≥0，a+b=1，则 a+12

+ b+1
2

取值范围是[ 2
+ 6

2
，2]
[ 2
+ 6

2
，2]
．考点：函数的值域．专题：计算题．分析：根据a和b的等量关系消去b，然后令 a+1
2

+ b+1
2

= a+1
2

+ 3
2
-a
=y，利用导数研究该函数在[0，1]上的最值，从而求出所求的值域．解答：解：a≥0，b≥0，a+b=1，0≤a≤1，0≤b≤1，b=1-a
a+1 2 + b+1 2 = a+1 2 + 3 2 -a =y
对y求导，y'=1 2 a+1 2 -1 2 3 2 -a
当y'=0时取得极值，即1 2 a+1 2 =1 2 3 2 -a ，
解得a=1 2 ∈[0，1]，此时b=1-a=1 2 此时y=2
而端点值当x=0时y= 2 + 6 2 ，当x=1时 y= 2 + 6 2
∴ a+1 2 + b+1 2 的取值范围为：[ 2 + 6 2 ，2]
故答案为：[ 2 + 6 2 ，2]点评：本题主要考查了函数的值域，同时考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．

Answer 2

本题实际上考察整体换元，与基本不等式的应用
解答如下：
a≥0,b≥0,a+b=1
所以 (a+1/2)+(b+1/2)=2
由于基本不等式
(x+y)^2<=2(x^2+y^2)
所以 （√(a+1/2)+√(b+1/2))^2<=2『(a+1/2)+(b+1/2)』=4
即 √2< √(a+1/2)+√(b+1/2)《2