Question

已知一直角三角形的三边长均为正整数,且周长与面积的数值相等,求满足条件的所有直角三角形

请写出解题的过程 ``````详细点

Answer 1

设直角边为a,b
由题意：ab/2 =a+b+√(a^2+b^2)
移项平方并化简得到：
a^2b^2/4 +2ab-ab(a+b)=0
因为 ab不等于0
所以 a+b-ab/4=2
b=4(a-2)/(a-4)=4(a-4+2)/（a-4)=4+8/(a-4)
b是正整数，则a=5,b=12,c=13
a=6,b=8,c=10
a=8,b=6,c=10
a=12,b=5,c=13
综上：符合题意的直角三角形的边长为6，8，10或5，12，13

Answer 2

一直角三角形的三边长a,b,c,c为斜边
a+b+c=1/2ab,a^2+b^2=c^2
a^2+b^2=(a+b-1/2ab)^2
ab(2-a-b+ab/4)=0,ab>0
2-a-b+ab/4=0
a=(8-4b)/(4-b)=4-8/(4-b)>0,a>0正整数
8/(4-b)<4
b=5,6,8,12
a=12,b=5,c=13；a=8,b=6,c=10;a=6,b=8,c=10;a=5,b=12;c=13
满足条件的所有直角三角形三边
6，8，10；
5，12，13

Answer 3

解这个直角三角形的三条边分别是：a,b,根号(a^2+b^2)
由题意可以知道，1/2ab=a+b+根号(a^2+b^2).

即：根号(a^2+b^2)=1/2ab-(a+b),将其两边平方得，

a^2+b^2=1/4a^2b^2-ab(a+b)+a^2+b^2+2ab

1/4a^2b^2-ab(a+b)+2ab=0

ab(1/4ab-a-b+2)=0,因为ab≠0，

所以，1/4ab-a-b+2=0

ab-4a-4b+8=0
a(b-4)=4b-8

a=(4b-8)/(b-4)=(4b-16+8)/(b-4)=4+8/(b-4)

因为三角形的三边都是整数，而8有四个约数：1，2，4，8，所以，b的取值有四种情况。即：5，6，8，12。下面分别讨论：

1、b=5,a=12,此时，斜边是13，面积是1/2*5*12=30，周长是：5+12+13=30，符合要求。

2、b=6,a=8,斜边是10，面积与周长都是24。

3、b=8，a=6，这与上面2中的情况实质是一样的。

4、b=12,a=5,这与1中的情况又完全相同。

综上所述，符全要求的三角形有两种情况。

三边分别是：
5，12，13；
6，8，10。