Question

问一道数学题

有12个一模一样的球，其中有一个球跟其他的球重量不相等，现在要求用天平称3次，找出那个重量不相等的球（请分类讨论）

拜托大家了，这道题已经困扰我一个星期了，我实在是无能为力啊……
要写出解答思路，最好完整点，好的话再加分……
这题就是不分轻重的，不然这题也没有那么难……

3楼的我看了，第一次称的时候就有点小问题，因为不知道轻重，因此如果天平不平衡，那么那个球就有可能在第一或者是第二堆中，根本无法确定啊，这么一来，天平就不止用3次了……

还有，这题是不能用假设的，就是一次性确定那个球

Answer 1

分三堆 每堆4个，A堆（1,2,3,4号）B堆（5,6,7,8号） C堆（9,10,11,12号）

第一次称：

称出后，三种结果：A＝B A＞B A＜B

（1）如果 A＝B（简单的）

第二次称：用9，10,11 和 1,2，3 称

三种结果
9，10,11 ＞ 1,2，3 说明是重球

9，10,11 ＜ 1,2，3 说明是轻球

9，10,11 ＝ 1,2，3 12号异重

当9，10,11 ＞ 1,2，3 说明是重球第三次称

9和11称

很好判断，

9＝11 10是重球

9＞11 9是重球

9＜11 11是重球

当9，10,11 < 1,2，3 说明是轻球第三次称

9和11称

很好判断，

9＝11 10是轻球

9＞11 11是轻球

9＜11 9是轻球

9，10,11 ＝ 1,2，3 12号异重第三次称

取12和1称

12＞1 12重球

12＜1 12是轻球

呵呵，这只说明其中最简单的一种情况了．

（2）如果A＞B即 1,2,3，4＞5,6,7,8了 （现在不能判断是轻是重）

取1,2,7,8和5,3,9,10进行第二次称量（这步是关键，是全题的重点和难点，把7，8 与3互换位置，并用了9,10两个已确定的球

这时有三种结果

1,2,7,8＝5,3,9,10 说明异重的在4与6中，且满足（4＞6）

取4和9进行第三次称量

4＝9 6是轻球

4＞9 4是重球

4＜9 4是轻球

1,2,7,8＞5,3,9,10 说明异重的在1，2与5中，且满足（1,2＞5,9）

取1，5与9,10进行第三次称量

1,5＝9,10 2是重球

1，5＜9,10 5是轻球

1，5＞9,10 1是重球

1,2,7,8＜5,3,9,10 说明异重的在7，8与3中，且满足（3,9＞7,8）

取3,7与9,10进行第三次称量

3,7＝9,10 8是轻球

3,7＞9,10 3是重球

3,7＜9,10 7是轻球

第二种可能的第二次称法和第三次称法充分利用了已有的确定的球这个条件，并在称量的过程中留出一些球不称，减少了判断因素，为下一次

称量做好准备．

（3）由于和第二种基本一样，（不论是过程，还是方法），没有写的必要了．

呵呵，写起来还挺麻烦的．

Answer 2

这个题目不是很难
1.先把球平均分成3份分别编号为（1）（2）（3）
1.把（1）和（2）分别放在天平的两边 若：一样重，则较轻的球在（3）中；若不一样重，（一）（1）比（2）重，较轻的球在（2）中；（二）（2）比（1）重，则较轻的球在（1）中
2.把较轻的那一堆拿出来，有4个球，平均分成两份，分别放在天平的两端，再找出较轻的那一堆，有两个球
3.把这两个球分别放在天平的两端，就可以找出较轻的那个球
（呵呵，有一点类似于高中数学中的二分法）

Answer 3

题好像有点问题吧,那个球应该分的出轻重吧!

1、当球重于其它球时,
把12个球平均分成三份,每堆4个,把任意的两堆放在天秤上,当他们平衡时,说明那个重的球在第三堆上,
如果是不平衡的就看那边向上那边向下,向下说明重的球在那堆里面.

如此就只有4个球了,把他们分成两分，再放在天平上，向下的说明那球在里面，再把重的那两个球分成两分，再放上面去称就能得出那个重的球了。

2、当球轻于其它球时
把12个球平均分成三份,每堆4个,把任意的两堆放在天秤上,当他们平衡时，说明轻的那个球在第三堆里面
如果不平衡也看那边向上那边向下，向上的那边说明轻的球在那里

如此就得出只有4个球了，把它们也分成两分，再放上去称，就可得出轻的球的哪一方
再最后把两球也分了，轻的球就是要找的那个了

Answer 4

我想了5分钟 和他们的答案不一样哦 你看看怎么样
我们先假设球不一样的球是比其他球重的
第一称 两边各放6个 重的一方里 包含 那个球 重的一边6个球留下
第二称 把刚在留下的那六个球 分成3个一边 重的一边 三个留下
第三称 把刚才留下的三个 一边一个 余下一个不动 如果称的重量相等 就是余下的那一个球 如果 不相等 就是重的那一个
我们再假设 那个不一样的球是轻的
第一称 两边各放6个 轻的一方里 包含 那个球 轻的一边6个球留下
第二称 把刚才留下下的那六个球 分成3个一边 轻的一边三个留下
第三称 把刚在留第三称 把刚才留下的三个 一边一个 余下一个不动 如果称的重量相等 就是余下的那一个球 如果 不相等 就是轻的那一个
这题目没有明确告诉你重量 只能假设两次 相信不会错的

Answer 5

按你们数学老师说的应该是不可能~

因为不知道球是比其它球轻还是重，前两堆必须一样，才能3次称出来

如果不一样，在某一堆，这样就会再称两次（至少），三次不可能

除非给出这个球到底是轻还是重

来自数学实验班的数学课代表

Answer 6

1、由于不知道异常球到底是轻是重，因此不论怎么分起来称，都会有三种不同的结果，即左边的重量重于、轻于或者等于右边的重量，为了做到 称三次就能把这个不合格的球找出来，必须把球分成三组(各为四只球)。现在，我们为了解题的方便，把这三组球分别编号为 A组、B组、C组。

首先，选任意的两组球放在天平上称。例如，我们把A、B两组放在天平上称。这就会出现两种情况:

第一种情况，天平两边平衡。那么，不合格的坏球必在c组之中。

其次，从c组中任意取出两个球 (例如C1、C2)来，分别放在左右两个盘上，称第二次。这时，又可能出现两种情况:

1、天平两边平衡。这样，坏球必在C3、C4中。这是因为，在12个球中，只有一个是不合格的坏球。只有C1、C2中有一个是坏球时，天平两边才不平衡。既然天平两边平衡了，可见，C1、C2都是合格的好球。

称第三次的时候，可以从C3、C4中任意取出一个球(例如C3)， 同另一个合格的好球(例如C1)分别放在天平的两边，就可以推出结果。这时候可能有两种结果:如果天平两边平衡，那么，坏球必是C4;如果天平两边不平衡，那么，坏球必是C3。

2、天平两边不平衡。这样，坏球必在C1、C2中。这是因为，只有C1、C2中有一个是坏球时，天平两边才不能平衡。这是称第二次。

称第三次的时候，可以从C1、C2中任意取出一个球(例如C1)， 同另外一个合格的好球(例如C3)，分别放在天平的两边，就可以推出结果。道理同上。

以上是第一次称之后出现第一种情况的分析。

第二种情况，第一次称过后天平两边不平衡。这说明，c组肯定都是合格的好球，而不合格的坏球必在A组或B组之中。

我们假设:A组 (有A1、A2、A3、A4四球)重，B组(有B1、B2、B3、B4四球)轻。这时候，需要将重盘中的A1取出放在一旁，将A2、A3取出放在轻盘中，A4仍留在重盘中。同时，再将轻盘中的B1、 B4取出放在一旁，将B2取出放在重盘中，B3仍留在轻盘中，另取一个标准球C1也放在重盘中。经过这样的交换之后，每盘中各有三个球: 原来的重盘中，现在放的是A4、B2、C1，原来的轻盘中，现在放的是A2、A3、B3。

这时，可以称第二次了。这次称后可能出现的是三种情况:

1、天平两边平衡。这说明A4B2C1=A2A3B3，亦即说明，这六只是好球，这样，坏球必在盘外的A1或B1或B4之中。已知A盘重于B盘。所以，A1或是好球，或是重于好球;而B1、B4或是好球，或是轻于好球。

这时候，可以把B1、B4各放在天平的一端，称第三次。这时也可能出现三种情况:(一)如果天平两边平衡，可推知A1是不合格的坏球，这是因为12只球只有一只坏球，既然B1和B4重量相同，可见这两只球是好球，而A1为坏球;(二)B1比B4轻，则B1是坏球;(三) B4比B1轻，则B4是坏球，这是因为B1和B4或是好球，或是轻于好球，所以第三次称实则是在两个轻球中比一比哪一个更轻，更轻的必是坏 球。

2、放着A4、B2、C1的盘子(原来放A组)比放A2、A3、B3的盘子(原来放B组)重。在这种情况下，则坏球必在未经交换的A4或B3之中。这是因为已交换的B2、A2、A3个球并未影响轻重，可见这三只球都是好球。

以上说明A4或B3这其中有一个是坏球。这时候，只需要取A4或B3同标准球C1比较就行了。例如，取A4放在天平的一端，取C1放在天平的另一端。这时称第三次。如果天平两边平衡，那么B3是坏球; 如果天平不平，那么A4就是坏球 (这时A4重于C1)。

3、放A4、B2、C1的盘子(原来放A组)比放在A2、A3、B3的盘 子(原来放B组)轻。在这种情况下，坏球必在刚才交换过的A2、A3、B23球之中。这是因为，如果A2、A3、B2都是好球，那么坏球必在A4或B3之中，如果A4或B3是坏球，那么放A4、B2、C1的盘子一定 重于放A2、A3、B3的盘子，现在的情况恰好相反，所以，并不是A2、A3、B2都是好球。

以上说明A2、A3、B2中有一个是坏球。这时候，只需将A2同A3相比，称第三次，即推出哪一个是坏球。把A2和A3各放在天平的一端 称第三次，可能出现三种情况:(一)天平两边乎衡，这可推知B2是坏球;(二)A2重于A3，可推知A2是坏球;(三)A3重于A2，可推知A3是坏球。

根据称第一次之后，出现的A组与B组轻重不同的情况，我们刚才假设A组重于B组，并作了以上的分析，说明在这种情况下如何推论哪一个球是坏球。如果我们现在假定出现的情况是A组轻于B组，其推理过程同上。
2、相应三次称量两边的放法：
左边5，7，9，11 ：右边6，8，10，12；
左边2，9，10，12：右边3，4，8，11；
左边1，4，11，12：右边3，6，7，9 。
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1号球，且重 －平、平、左 1号球，且轻 －平、平、右
2号球，且重 －平、左、平 2号球，且轻 －平、右、平
3号球，且重 －平、右、右 3号球，且轻 －平、左、左
4号球，且重 －平、右、左 4号球，且轻 －平、左、右
5号球，且重 －左、平、平 5号球，且轻 －右、平、平
6号球，且重 －右、平、右 6号球，且轻 －左、平、左

7号球，且重 －左、平、右 7号球，且轻 －右、平、左
8号球，且重 －右、右、平 8号球，且轻 －左、左、平
9号球，且重 －左、左、右 9号球，且轻 －右、右、左
10号球，且重－右、左、平 10号球，且轻－左、右、平
11号球，且重－左、右、左 11号球，且轻－右、左、平
12号球，且重－右、左、左 12号球，且轻－左、右、右

回答者： saladbill - 见习魔法师 三级 2009-7-25 21:10
检举不会那哦~

回答者： 八神嘉星 - 见习魔法师 三级 2009-7-25 22:18
检举分三堆 每堆4个，A堆（1,2,3,4号）B堆（5,6,7,8号） C堆（9,10,11,12号）

第一次称：

称出后，三种结果：A＝B A＞B A＜B

（1）如果 A＝B（简单的）

第二次称：用9，10,11 和 1,2，3 称

三种结果
9，10,11 ＞ 1,2，3 说明是重球

9，10,11 ＜ 1,2，3 说明是轻球

9，10,11 ＝ 1,2，3 12号异重

当9，10,11 ＞ 1,2，3 说明是重球第三次称

9和11称

很好判断，

9＝11 10是重球

9＞11 9是重球

9＜11 11是重球

当9，10,11 < 1,2，3 说明是轻球第三次称

9和11称

很好判断，

9＝11 10是轻球

9＞11 11是轻球

9＜11 9是轻球

9，10,11 ＝ 1,2，3 12号异重第三次称

取12和1称

12＞1 12重球

12＜1 12是轻球

呵呵，这只说明其中最简单的一种情况了．

（2）如果A＞B即 1,2,3，4＞5,6,7,8了 （现在不能判断是轻是重）

取1,2,7,8和5,3,9,10进行第二次称量（这步是关键，是全题的重点和难点，把7，8 与3互换位置，并用了9,10两个已确定的球

这时有三种结果

1,2,7,8＝5,3,9,10 说明异重的在4与6中，且满足（4＞6）

取4和9进行第三次称量

4＝9 6是轻球

4＞9 4是重球

4＜9 4是轻球

1,2,7,8＞5,3,9,10 说明异重的在1，2与5中，且满足（1,2＞5,9）

取1，5与9,10进行第三次称量

1,5＝9,10 2是重球

1，5＜9,10 5是轻球

1，5＞9,10 1是重球

1,2,7,8＜5,3,9,10 说明异重的在7，8与3中，且满足（3,9＞7,8）

取3,7与9,10进行第三次称量

3,7＝9,10 8是轻球

3,7＞9,10 3是重球

3,7＜9,10 7是轻球

第二种可能的第二次称法和第三次称法充分利用了已有的确定的球这个条件，并在称量的过程中留出一些球不称，减少了判断因素，为下一次称量做好准备．

（3）和第二种情况一样