Question

一个高数问题

反双曲余弦函数是： archx=ln(x+√(x〃-1)），其中Df={x| |x|>1}. 但是，我想问一下，为什么不是可以推导得到的另外一个表达式： ln(x-√（ x〃-1）），而且，定义域中为什么不可以取x=1 这个值 ?

谢谢。
希望可以提供更详细些的回复，回答的很好的话我还会有追加分哦。

Answer 1

广义来说，反双曲余弦函数是多值函数，但我们只取用它的正值分支，即
arccosh(x)=ln[x+√(x²-1)]
以让它成为一个单值函数。

为什么舍去它的负值分支“ln[x-√(x²-1)]”？很简单，因为把负值分支也包括进来的话就会出现“一个x对应两个y”的情况，作为单值函数而言，这是不允许的。

为什么是舍弃负值分支而不是舍去正值分支？这纯粹是人们约定俗成。因为要想反双曲余弦为单值函数，就必须舍弃一个分支，人们选择了保留正值分支。
又如，为什么反正切函数是(-π/2,π/2)那一支,而不是(π/2,3π/2)那一支，很简单，纯粹是基于方便的约定俗成。

为什么定义域不可以取x＝1这个值？这不算是一个好问题。因为不同的参考书对反双曲余弦函数的定义域有不同的定义，有的包含1，有的没有包含。不同参考书出现定义不一致的情况很常见，这没有对错之分，关键在于你更认同哪一个。

Answer 2

这是一个约定吧。
因为chx并不是单调函数，反函数并不存在，所以在构造archx时，就只取了chx中x>0的部分；然后反函数为了保证值域>0，就只能取ln(x+√(x〃-1)）了。

Answer 3

首先明确积分中值定理的条件：被积函数要连续其次明确导函数的定义，是导函，则必有原函，因此必连续。自然是导函数就满足积分中值定理。但是，这句话在实际做题中没有太大意义，楼主只要记得，只有连续才满足积分中值定理即可。

Answer 4

第一行，求和是直到 ∞ ，因此是无穷多项，
第二行，n 是有限数，因此有第五行的结果。
第五行的极限就是第一行 。
你并没有错，是你理解上有些小偏差

Answer 5

导函数一定满足积分中值定理?这是嘛定理导函数的中间值定理
可能是说达布定理吧，这个定理是说
只要导函数存在
也就是可导
那么不管导数是否连续，导数都能取得介值
就好象导数是连续的一样