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证:设a=(aij)与任意的n阶矩阵可交换,则a必是n阶方阵.
设eij是第i行第j列位置为1,其余都是0的n阶方阵.
则eija=aeij
eija是第i行为aj1,aj2,...,ajn,其余行都是0的方阵
aeij是第j列为a1i,a2i,...,ani,其余列都是0的方阵
所以当i≠j时,aij=0.
所以a是一个对角矩阵.
设e(i,j)是对换i,j两行的初等矩阵.
由e(i,j)a=ae(i,j)可得
aii=ajj
所以a是主对角线元素相同的对角矩阵,即数量矩阵.
设eij是第i行第j列位置为1,其余都是0的n阶方阵.
则eija=aeij
eija是第i行为aj1,aj2,...,ajn,其余行都是0的方阵
aeij是第j列为a1i,a2i,...,ani,其余列都是0的方阵
所以当i≠j时,aij=0.
所以a是一个对角矩阵.
设e(i,j)是对换i,j两行的初等矩阵.
由e(i,j)a=ae(i,j)可得
aii=ajj
所以a是主对角线元素相同的对角矩阵,即数量矩阵.
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