Question

过圆内一点最长的弦是过之一点的直径，过这一点最短的的弦是什么？ 怎样证明？

我刚上初三，能用学过的知识证明吗？？？
具体怎样证明？

Answer 1

设圆半径为R,圆心O,P圆内一定点,于是OP为定值设过P的一条弦为AB,连OA,OB,作OH⊥AB于H
于是由垂径定理有AH=HB
由勾股定理,
于是AB²=4AH²=4(R²-OH²)=4R²-4(OP²-PH²)
=4R²-4OP²+4PH²
要使AB为最小的,而4R²-4OP²为定值
于是要4PH²最小,为0,此时P与H重合.即过P点最短的的弦是垂直于OP的弦

Answer 2

最短的弦是与经过这个点的直径垂直的那条弦
我没有二级,故不能上传图片.
证明:(理解意思就可以了)
设点到圆心的距离是l,半径为r,则"最短的弦长"为√r^2-l^2
另过那个点任做一条弦,那么它到圆心的距离设为m,m<l能理解吧,则这条弦长为√r^2-m^2,因为m<l,所以√r^2-l^2>√r^2-m^2

Answer 3

过这一点最短的弦是与过这一点的直径相垂直的弦。

Answer 4

最短弦是与最长弦相垂直的那条弦，可以画图用几何方法进行简单的证明。

Answer 5

垂直于过此点直径的弦，用圆心角，弧证明