Question

正弦定理sinA/a=sinB/b=sinC/c=2R是怎么证明的

Answer 1

步骤1.

  在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

  CH=a·sinB

  CH=b·sinA

  ∴a·sinB=b·sinA

  得到

  a/sinA=b/sinB

  同理，在△ABC中，

  b/sinB=c/sinC 

步骤2.

  证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

  如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 

  作直径BD交⊙O于D. 

  连接DA. 

  因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度 

  因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 

  所以c/sinC＝c/sinD=BD(直径)=2R

Answer 2

正弦定理是三角学中的一个定理。它指出了三角形三边、内角以及外接圆半径之间的关系。

证明过程及方法见图：

正弦定理的扩展公式：

(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;

(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;

(3)相关结论:

a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)

(4)设R为三角外接圆半径，公式可扩展为:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。

sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R

asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA.

Answer 3

正弦定理证明方法
方法1:用三角形外接圆
证明：
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.
连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式。
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
方法2:
用直角三角形
证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC
在直角三角形中,在钝角三角形中(略)。
方法3：用向量
证明：记向量i
，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c
∴a+b+c=0
则i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0
∴a/sinA
=c/sinC
(b与i垂直,i·b=0)
方法4：用三角形面积公式
证明：在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CD⊥AB垂足为点D，作BE⊥AC垂足为点E，则CD=a·sinB，BE=
c
sinA,由三角形面积公式得：AB·CD=AC·BE
即c·a·sinB=
b·c
sinA
∴a/sinA=b/sinB
同理可得b/sinB=c/sinC
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

Answer 4

我说下方法，sinA/sinB=(a/c)/(b/c)=a/b=>sinA/a=sinB/b.同理得………