Question

球的表面积公式推导过程

个位同志，球的表面积公式到底是如何推出的，为何我推了几次都是 S=π平方
*R平方，原理是先割成1个半球，再把这个半球割成无数个小三角形，小三角形的底之和即为圆周（2πR），高为四分之一圆周（1/2πR），圆的表面积就是 （2πR*1/2πR）/2 *2=π平方*R平方，是我的原理错了还是小三角形的高不是四分之一圆周（1/2πR）？如果是我原理错了请另告诉我原理，如果是小三角形的高错了，请告诉我小三角形的高是什么并证明。谢谢

Answer 1

让圆y＝√(R^2－x^2)绕x轴旋转，得到球体x^2+y^2+z^2≤R^2。求球的表面积。
以x为积分变量，积分限是[－R，R]。
在[－R，R]上任取一个子区间[x，x+△x]，这一段圆弧绕x轴得到的球上部分的面积近似为2π×y×ds，ds是弧长。
所以球的表面积S＝∫<－R，R>2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到S＝4πR

Answer 2

我不知道你的想法，但我这样求（为什么“高为四分之一圆周（1/2πR）”）。
把整个球分为一个个一摸一样的整四棱锥，它们的顶点聚集于球心，而其底面则共同构成球面，也就是说这是一个正多面体，于是当正四棱锥无限多时，球体积就等于四棱锥体积和，即V（四棱锥和）=nV（四棱锥)=V（球）=4/3*πr^3
四棱锥的高就是半径,即h=r
又V（四棱锥）=1/3*Sh
所以球面积
S=nS（四棱锥）=n（3V（四棱锥）/h）=3nV（四棱锥）/h=3*4/3*πr^3/r=2πr²

Answer 3

用^表示平方

把一个半径为R的球的上半球切成n份 每份等高

并且把每份看成一个圆柱，其中半径等于其底面圆半径

则从下到上第k个圆柱的侧面积S(k)=2πr(k)*h

其中h=R/n r(k)=根号[R^-(kh)^]

S(k)=根号[R^-(kR/n)^]*2πR/n

=2πR^*根号[1/n^-(k/n^)^]

则 S(1)+S(2)+……+S(n) 当 n 取极限（无穷大）的时候就是半球表面积2πR^

乘以2就是整个球的表面积 4πR^

Answer 4

小三角形的底之和即为圆周（2πR），高为四分之一圆周（1/2πR），

这句错了啦！！
这是曲面勒

要用微积分，看楼上。