已知如图,△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC,AO的延长线交BC于D。 求证:AD⊥BC,BD=CD。
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证明：
∵AB=AC，OB=OC，AO=AO
∴△AOB≌△AOC
∴∠BAO=∠CAO
∵AB=AC
∴AD⊥BC，BD=DC（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC，OB=OC，AO=AO
∴△AOB≌△AOC
∴∠BAO=∠CAO
∵AB=AC
∴AD⊥BC，BD=DC（等腰三角形三线合一）
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证明：在△AOB和△AOC中
AO=AO（公共边）
AB=AC（已知）
OB=OC（已知）
∴△AOB≌△AOC（SSS）
∴∠BAO=∠CAO, ∠ABO=∠ACO（全等三角形对应角相等）
在△ABD和△ACD中
AB=AC（已知）
∠BAD=∠CAD（已证）
AD=AD（公共边）
∴△ABD≌ACD（SAS）
∴∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）
BD=DC（全等三角形对应边相等）
∵∠ADB+ADC=180°（平角定义）
∴∠ADB=90°
∴AD⊥BC（垂直定义）
你也可以在证完第一次全等后用等腰三角形三线合一性质证明。
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