Question

问一道数学题，要详细过程，在线等

已知a为实数f(x)=(x2-4)(x-a)
（1）若f’(-1)=0，求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值。
（2）若f(x)在（-∞，-2]和[2,+∞)上都是递增的，求a的取值范围。

Answer 1

1、
f'(x)=2x(x-a)+(x²-4)*1=3x²-2ax-4
f'(-1)=3+2a-4=0
a=1/2
f'(x)=3x²-x-4=0
x=-1,x=4/3
x<-1,x>4/3,f'(x)>0,增函数
-1<x<4/3,f'(x)<0,减函数

所以-2<x<-1, 增
-1<x<4/3,减
4/3<x<2,增
所以x=-1是极大值，x=4/3是极小值
把他们和边界比较即得最值
f(-2)=0,f(-1)=9/2,f(4/3)=-50/27,f(2)=0
所以最大=9/2，最小=-50/27

2、
f'(x)=3x²-2ax-4
当x<-2,x>2是增函数，则f'(x)>0
即f'(x)=0的根在[-2,2]之间,或者没有跟
若没有跟，则4a²+48<0,不成立
因为x1x2=-4/3<0
所以是一正一负
即一个跟是-2<=x1<0,一个是0<x2<=2
则f'(-2)>0,f'(2)>0
且对称轴x=a/3在[-2,2]内
f'(-2)=12+4a-4>0,a>-2
f'(2)=12-4a-4<0,a<2
-2<=a/3<=2
-6<=a<=6
综上
-2<a<2

Answer 2

解：先求出a的值
f'(x)=2x(x-a)+x^2 -4 = 3x^2 - 2ax -4
因为f'(-1)=0 所以代入得3+2a-4=0 a=0.5
所以f'(x)=3x^2 - x -4
=(3x-4)(x+1)
令f'(x)=0 求得x=4/3 或 -1
当x<-1(>-2)时，f'(x)>0 当-1<x<4/3时，f'(x)<0所以x=-1是极大值点， 同理可说明x=4/3是极小值点
而f(-1) = -3 * (-1.5)=4.5
f(4/3)=(16/9 - 4)(4/3 - 1/2)=-20/9 * 5/6 = -100/54 = -50/27
注意要考虑端点函数值
f(2)=f(-2)=0
比较这四个值可知道最大值为f(-1)=4.5
最小值为f(4/3)=-50/27