Question

高二 数学 导数 请详细解答,谢谢! (29 10:36:31)

已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c，过曲线y=f(x)上的某点P(1,f(x))的切线的方程为y=3x+1，若函数y=f(x)在区间【-2，1】上单调递增，求b的范围

Answer 1

f'(x)=3x^2+2ax+b
由题意：f'(1)=3+2a+b=3 P(1,4)
故 1+a+b+c=4
所以a=-b/2,c=3-b/2
f'（x)=3x^2-bx+b
若函数y=f(x)在区间【-2，1】上单调递增,则f'（x)>=0在[-2，1]上恒成立
令g(x)=3x^2-bx+b，只要g(x)在区间里的最小值大于等于0就满足题意。
对称轴x=b/6
当b/6<=-2,b<=-12,函数在区间里单调递增
最小值g(-2)>=0,b>=-4,故无解
当b/6>=1,b>=6,函数在区间里单调递减
最小值g(1)>=0,故b>=6
当-12<b<6,最小值在对称轴处取得：(12b-b^2)/12>=0
0<=b<6
综上：b>=0

Answer 2

f'(x) = 3x^2+2ax+b

f'(1) = 3

3+2a+b=3, a=-b/2

-2a/3 aaaa

f'(-2)>=0, 12-4a+b>=0, 12+2b+b>=0, b>=-4

aaaa

b的范围为b>=-4