Question

设函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0),曲线y=f(x)通过点（0,2a+3),且在点（-1,f(-1))处的切线垂直于y轴

(1)用a分别表示b和c
(2)当bc取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e^(-x)的单调区间

Answer 1

(1)曲线y=f(x)通过点（0,2a+3),且在点（-1,f(-1))处的切线垂直于y轴
f(0)=c=2a+3
f'(x)=2ax+b
f'(-1)=-2a+b=0 b=2a
(2)bc=(2a+3)2a=4a^2+6a a=-3/4的时候取最小值 9/4-18/4=-9/4
g'(x)=[f(x)-f'(x)]e^(-x)
当f(x)-f'(x)>=0 是函数增区间
-3/4x^2-3/2x+3/2-(-3/2x-3/2)=-3/4x^2+3>=0 -2=<x<=2
所以函数的单调递增区间是 [-2,2]
递减区间是 (-无穷，-2) 并 (2,无穷）

Answer 2

把(0,2a+3)代入即得c = 2a + 3.
在(-1,f(-1))处切线垂直于y轴，说明(-1,f(-1))是抛物线的顶点，因此x = -1是对称轴，所以-b/2a = -1，b = 2a.

bc = 2a(2a + 3) = 4a² + 6a，其最小值在a = -2/3时取得，此时b = -4/3，c = 5/3，f(x) = -2x²/3 - 4x/3 + 5/3.
g(x) = (2x² + 4x - 5)e^(-x)/3.
因为e^(-x)/3是R上的减函数，所以h(x) = 2x² + 4x - 5的增区间就是g(x)的减区间，h(x)的减区间就是g(x)的增区间。
即，g(x)在(-∞,-1]上递增，在(1,+∞)上递减。