Question

二次函数f(x)=ax²+bx+c

1、二次函数f(x)=ax²+bx+c，a是正整数，c≥1，a+b+c≥1，方程ax²+bx+c=0有两个小于1的不等正根，求a的最小值.
2、已知t为常数，函数y=｜x²-2x-t｜在区间上的最大值为2，则t=______.
3、已知f(x)=1-(x-a)(x-b)，并且m、n是方程f.(x)=0的两个根，则实数a、b、m、n的大小关系可能是（）
A.m<a<b<n B.a<m<n<b C.a<m<b<n D.m<a<n<b

请写出具体步骤，谢谢！ （第二题的区间为[0,3]）

Answer 1

1 由c≥1，a+b+c≥1 可看做f(0)和f(1)均大于1 而方程ax²+bx+c=0有两个小于1的不等正根 对于函数本身可知 对称轴-b/2a必在（0，1）之间 对于方程可知 b^2-4ac>0 b^2>4ac 前者0<-b/2a<1 得4a^2>b^2>4ac a>c>=1 则a最小值取2

2 x²-2x-t=（x-1)^2-1-t 而函数y=｜x²-2x-t｜在区间上的最大值为2 只要保证x²-2x-t在区间[0,3]要么存在最小值-2或者最大值2 对称轴x=1在[0，3]内 当取最小值-2时 -1-t=-2 则t=1 此时函数为（x-1)^2-1-t 在[0，3]内值域为[-2.2]满足条件 当取最大值2时 因为开口向上 要么在x=0或要么在x=3处取得 经验证 x=3时满足 此时t=1 综上所述 t=1

3 f(x)=1-(x-a)(x-b)=-x^2+(a+b)x-ab+1 对称轴为(a+b)/2 则为（a,0)和(b,0)的中点 而函数本身方向向下 观看各选项发现a都小于b 则可得出（a,0)在对称轴左边 (b,0)在对称轴右边 而对称轴左边 图像单增 f(m)=0<f(a)=1 所以m<a 同理 对称轴右边 单减 f(n)=0<f(b)=1 n〉b 因而m<a<b<n 选A