Question

已知函数f(x)=log3[(mx2+8x+n)/(x2+1)]的定义域为R,值域为[0,2],求m,n的值

解题步骤看不懂我写一下啊。先是m>0,mx^2+8x+n判别式<0.然后设Y=log3[(mx2+8x+n)/(x2+1)]。所以（3^y-m)x^2-8x+3^y-n=0。然后判别式大于等于0。为什么要出现两个判别式的验证。后面一个为什么要先变成方程算呢？？？？？？？？希望各位有志之士帮忙，我好困惑
哦还有为什么要这样做的，直接m>0 Δ<0
不就行了么为什么还要化作分式

Answer 1

第一个判别式是由于题目中的条件 定义域为R
而分母 x^2+1>0恒成立 ，所以 必须 mx2+8x+n>0对任意实数x恒成立
所以 必须 m>0 Δ<0
第二个判别式是 [(mx2+8x+n)/(x2+1)]=3^y
是这个分式的 变形后的Δ
3^y=(mx^2+8x+n)/(x^2+1)
3^y(x^2+1)-(mx^2+8x+n)=0 整理成关于x的方程
(3^y-m)x^2-8x+3^y-n=0
这个Δ 是根据根的判别式法求函数的值域
两个Δ意义不同

Answer 2

因为定义域为R，所以无论x去什么数字，mx2+8x+n都大于0
所以必然有m大于0，判别式64-4mn小于0
得到m大于0
mn大于16
（mx2+8x+n)/(x2+1)的值域是大于等于1，小于等于9
（mx2+8x+n)/(x2+1)这个函数的最值可用判别式发把y移过去，并且判别式大于等于0得到
y2-（m+n）y+mn-16小于等于0
那么m+n=1+9=10
mn=25
得到m=5
n=5