Question

指数函数与对数函数的问题

已知函数y=f(x)=[a的(x次方）+1]/(bx+c)（a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，有最小值2，其中且b∈正整数集
1.试求函数f(x)的解析式
2.文函数f(x)图像是否存在关于点（1.0）对称的两点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。
请写出详细过程，谢谢！

Answer 1

设命题P：x≥1时，x^2+2x+c≥7/2恒成立，命题Q：不等式x^2-lgx≤0，在（0，1/2〕上恒成立．若P是假命题，Q是真命题，求c的取值范围．

题目有问题:命题Q根本不成立.
应该是不等式x^2-log(c)x≤0.
log(c)x表示以C为底X的对数.

(1).∵f(x)=x^2+2x+c在[1,+∞)上是增函数.
∴命题P"x≥1时，x^2+2x+c≥7/2恒成立"是假命题
即f(x)=x^2+2x+c在[1,+∞)上的最小值f(1)<7/2
则1+2+c<7/2
∴c<1/2.
(2).x^2在(0,1/2]上是增函数,且恒大于0;
当c>1时log(c)x在(0,1/2]恒小于0,不满足题目要求.
当0<c<1时log(c)x在(0,1/2]上是减函数,恒大于0.
所以g(x)=x^2-log(c)x，在（0，1/2〕上是增函数,
所以命题Q：不等式x^2-log(c)x≤0，在（0，1/2〕上恒成立是真命题
等价于函数g(x)=x^2-log(c)x，在（0，1/2〕上的最大值小于或等于0.
即g(1/2)≤0.
即1/4-log(c)(1/2)≤0
即log(c)(1/2)≥1/4=log(c)[c^(1/4)]
∵0<c<1
∴c^(1/4)≥1/2
∴c≥1/16,(两边同时取四次方.)
∴1/16≤c<1.

综上所述,1/16≤c<1/2.