Question

高数求极限。x趋向于零，lim(sin^2x-x^2cos^2x)/x^2sin^2x，我这么做怎么错了？

x趋向于零，lim(sin^2x-x^2cos^2x)/x^2sin^2x=lim(sin^2x-x^2)/x^4=lim(1-cos2x-2x^2)/2x^4再用几次洛必达法则，算出来是-1/3，但是答案是2/3，答案那个方法我会，只是不知道为什么我这样做错了。只要告诉我我这么做怎么错了。要分请讲。

Answer 1

lim(sin²x-x²cos²x)/x²sin²x=lim(sin²x-x²)/x^4
这一步你错了，cos²x不可直接替换成1
乘除可替换，加减不可替换
应该把整个cos²x提出来再替换
lim(sin²x-x²cos²x)/x²sin²x=limcos²x(tan²x-x²)/x^4=lim(tan²x-x²)/x^4

Answer 2

用等价无穷小代换的本质就是相当于乘以(sinx)/x，或(tanx)/x，或(tanx)/(sinx)，因为它们求极限之后等于1，结果不变

lim(sin²x-x²cos²x)/x²sin²x = lim(tan²x-x²)/x²tan²x
你现在的代换相当于把分子中的其中一项tan²x代换成sin²x，而这不能通过 乘以 极限为1的任何一个式子 得到，所以不能这样代换

Answer 3

等价的注意事项里有：
要考虑整体性
分子或分母可以由几个部分相乘
其中各部分可以分别拿来等价，
而不能几部分相加（减），拿其中加减部分来等价