Question

已知函数f(x)=ax/(x^2+b)在x=1处取得极值1 (1)f(x)的解析式 （2）讨论y=f(x)的图象与直线y=m的公共点的情

Answer 1

(1)y'=(ab-ax^2)/(x^2+b)^2
f'(1)=ab-a=0 因为 a不为0
所以 b=1
f(1)=a/2=1 a=2
所以 f(x)=2x/(x^2+1) 定义域为R
(2) 这个要分m的区间来讨论的
当然首先是要讨论函数的极值和最值
y'=0
得到 2-2x^2=0 x=1 或 x=-1
而分母 (x^2+1)^2>0恒成立
所以导函数的正负取决于 分子的正负
g(x)=2-2x^2 是开口向下的抛物线， x属于[-1,1] g(x)>=0
x属于 (-无穷，-1) 和 (1,无穷）g(x)<0
所以f(-1)是函数的一个极小值点，而f(1)是函数的一个极大值点
f(-1)=-1 f(1)=1
所以 当 -1<m<1 的 时候y=f(x)的图象与直线y=m的公共点 有3个
当m=1或 m=-1的时候 它们的公共点有2个
当 m>1 或 m<-1的时候，它们的公共点有1个

Answer 2

具体算我就不算了，但是我告诉你方法
第一步对f(x)=ax/(x^2+b)
求导，这个可以查高3数学课本的后面的导数表
求完以后因为x=1处取得极值所以导函数f（1）=0
有因为x=1 y=1所以又得到一个方程
两个方程两个未知数所以可以解

第二问，你这样考虑先把它的单调区间求出来，并求极值
然后再纸上把它的图像用直线一段的一段的画出来，然后假设有一条平行x轴的直线在上下移动，它一定是在几个极值点为端点来考虑焦点的